Problem B. 5086. (March 2020)

B. 5086. Solve the equation \(\displaystyle \big(x^3-y^2\big)^{2}= \big(x^2-y^3\big)^{2}\) over the set of pairs of integers.

Proposed by M. Szalai, Szeged

(4 pont)

Deadline expired on April 14, 2020.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az egyenlet pontosan akkor teljesül, ha \(\displaystyle x^3-y^2=x^2-y^3\) vagy \(\displaystyle x^3-y^2=-(x^2-y^3)\), ezt a két esetet külön vizsgáljuk meg.

1. eset: \(\displaystyle x^3-y^2=x^2-y^3\).
Az egyenletet átrendezve:

\(\displaystyle x^3+y^3=x^2+y^2.\)

A jobb oldal nemnegatív, így \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) közül legalább az egyik nemnegatív. Először tegyük fel, hogy \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) is nemnegatív. Ekkor \(\displaystyle x^3\geq x^2\) és \(\displaystyle y^3\geq y^2\), és egyenlőség csak \(\displaystyle x\in \{0,1\}\), illetve \(\displaystyle y\in \{0,1\}\) esetén teljesül. Ahhoz, hogy megoldást kapjunk, mindkét esetben egyenlőségnek kell fennállnia, így kapjuk az \(\displaystyle (x,y)=(0,0), (0,1)\), \(\displaystyle (1,0)\) vagy \(\displaystyle (1,1)\) megoldásokat. Most tegyük fel, hogy \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) valamelyike negatív, mondjuk \(\displaystyle y<0\leq x\). (Az \(\displaystyle x<0\leq y\) eset ugyanígy vizsgálható.) Mivel \(\displaystyle x^3+y^3\geq 0\), ezért \(\displaystyle -y=|y|\leq |x|=x\). Ha \(\displaystyle -y=x\), akkor \(\displaystyle x^3+y^3=0\), így \(\displaystyle x^2+y^2=0\), ami csak \(\displaystyle (x,y)=(0,0)\)-ra teljesül, azonban ilyenkor \(\displaystyle y\) nem negatív. Végül vizsgáljuk az \(\displaystyle |y|<|x|\) esetet, ekkor \(\displaystyle x^3+y^3\geq x^3-(x-1)^3=3x^2-3x+1\). Ugyanakkor \(\displaystyle x^2+y^2\leq x^2+(x-1)^2=2x^2-2x+1\). Tehát:

\(\displaystyle 3x^2-3x+1\leq x^3+y^3=x^2+y^2\leq x^2+(x-1)^2=2x^2-2x+1,\)

és ezért

\(\displaystyle x(x-1)=x^2-x\leq 0.\)

Ezzel azonban ismét ellentmondásra jutottunk, ugyanis \(\displaystyle y\) egy negatív egész szám, és \(\displaystyle |y|<|x|=x\) miatt \(\displaystyle x\geq 2\). Tehát nem kapunk újabb megoldást.

2. eset: \(\displaystyle x^3-y^2=-(x^2-y^3)\).
Az egyenletet rendezve:

\(\displaystyle x^3-y^3+x^2-y^2=0,\)

majd szorzattá alakítva:

\(\displaystyle (x-y)(x^2+xy+y^2+x+y)=0.\)

Ez pontosan akkor teljesül, ha valamelyik szorzótényező 0. Ha \(\displaystyle x-y=0\), akkor \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) közös értéke bármely egész szám lehet, ezzel végtelen sok megoldást kapunk: \(\displaystyle (x=n,y=n)\) (ahol \(\displaystyle n\) egész szám). Tegyük fel, hogy \(\displaystyle x-y\ne 0\), azaz \(\displaystyle x\ne y\). Ekkor \(\displaystyle x^2+xy+y^2+x+y=0\) kell legyen. Az egyenletet 2-vel szorozva, mindkét oldalhoz 2-t adva:

\(\displaystyle 2x^2+2xy+2y^2+2x+2y+2=2,\)

majd a bal oldalt teljes négyzetek összegeként felírva:

\(\displaystyle (x+y)^2+(x+1)^2+(y+1)^2=2.\)

Három egész szám négyzetének összege csak úgy lehet 2, ha kettő közülük 1, egy pedig 0. Speciálisan, \(\displaystyle |x+1|\leq 1,|y+1|\leq 1\), amiből \(\displaystyle x,y\in \{-2,-1,0\}\). Ugyanakkor \(\displaystyle -1\leq x+y\), és ezt a korábbiakkal egybevetve \(\displaystyle x,y\in \{-1,0\}\). Mivel \(\displaystyle x\ne y\), ezért csak \(\displaystyle (x,y)=(-1,0)\) és \(\displaystyle (x,y)=(0,-1)\) lehet, ezek pedig valóban megoldást adnak.

Az egyenlet megoldásai tehát: \(\displaystyle (n,n)\) (ahol \(\displaystyle n\) tetszőleges egész szám), \(\displaystyle (-1,0)\), \(\displaystyle (0,-1)\), \(\displaystyle (0,1)\), \(\displaystyle (1,0)\).

Statistics:

88 students sent a solution.
4 points:	59 students.
3 points:	6 students.
2 points:	9 students.
1 point:	8 students.
0 point:	6 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2020