Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 5088. feladat (2020. március)

B. 5088. Adott \(\displaystyle G\) számhalmazhoz a \(\displaystyle k>1\) pozitív egész érdekes, ha a \(\displaystyle G\) halmazban van \(\displaystyle k\) különböző olyan elem, amelyek átlaga szintén a \(\displaystyle G\) halmazba esik.

Legyen a \(\displaystyle H=\{1;3;4;9;10;\ldots\}\) halmaz azon számok halmaza, amelyek előállnak néhány különböző 3-hatvány összegeként.

\(\displaystyle a)\) Mely \(\displaystyle k>1\) számok érdekesek a \(\displaystyle H\) halmazhoz?

\(\displaystyle b)\) Legyen \(\displaystyle c \notin H\) tetszőleges pozitív egész. Igazoljuk, hogy a \(\displaystyle H'=H \cup \{c\}\) halmazhoz minden \(\displaystyle k>1\) szám érdekes.

(5 pont)

A beküldési határidő 2020. április 14-én LEJÁRT.


Megoldás. a) Megmutatjuk, hogy tetszőleges \(\displaystyle k>2\) érdekes, de \(\displaystyle k=2\) nem.
Legyen \(\displaystyle 2<k\) hármas számrendszerbeli alakja (végig hármas számrendszerben fogunk dolgozni): \(\displaystyle k=\overline{b_1b_2...b_n}\). Ekkor ha \(\displaystyle 3d=\overbrace{100...0100...0....100...0}^{k \text{ db \(\displaystyle n\) hosszú }10...0}\) alakú szám (és így \(\displaystyle d \in H\)), akkor megmutatjuk, hogy \(\displaystyle d\) olyan szám, amelynek \(\displaystyle k\)-szorosa előáll \(\displaystyle k\) darab különböző \(\displaystyle H\)-beli \(\displaystyle a_i\) szám összegeként, és így \(\displaystyle k\) érdekes.
Első eset (az első jegy alapján): Ha \(\displaystyle b_1=1\), akkor a \(\displaystyle kd=b_1b_2...b_nb_1b_2...b_n...b_1b_2...b_n=1b_2b_3...b_n1b_2...b_n1b_2b_3...b_n\) számot a következőképpen bonthatjuk ilyen \(\displaystyle a_1,a_2,...,a_k \in H\) számok összegére:
Legyenek: \(\displaystyle a'_1=3^{1\cdot n - 1};a'_2=3^{2\cdot n - 1};...;a'_k=3^{k\cdot n - 1}\).
Innen a (vessző nélküli) \(\displaystyle a_i\)-ket úgy konstruáljuk meg, hogy \(\displaystyle a_i=a'_i\) legyen, továbbá a \(\displaystyle kd\) szám ,,maradék, szét nem osztott jegyeit 1-esével'' valahogyan szétosztjuk az \(\displaystyle a_i\)-k között (ezt megtehetjük, mivel \(\displaystyle k>2\) és minden helyiértéken legfeljebb 2 db 1-est kell ,,szétosztanunk''). Mivel az \(\displaystyle a_i\) számok az \(\displaystyle l \cdot n -1\)-dik helyiértékükben biztosan különböznek, így nyilván csupa különböző \(\displaystyle H\)-beli \(\displaystyle a_i\) összegére bontottuk fel \(\displaystyle kd\)-t.
(Pl. ha \(\displaystyle b=5=12_3 \Rightarrow d=101010101_3 \Rightarrow kd=5 \cdot d = 1212121212_3 \Rightarrow a'_1=10; a'_2=1000, a'_3=100000,a'_4=10000000,a'_5=1000000000\).
És a további 2-es jegyeket szétosztva mondjuk \(\displaystyle a_5,a_4\) között: \(\displaystyle a_5=1101010101; a_4=11010101;a_3=a'_3=100000;a_2=a'_2=1000;a_1=a'_1=10\).)
Második eset: Ha pedig \(\displaystyle b_1=2\), akkor (a korábbi \(\displaystyle a'_i\)-ket felhasználva): \(\displaystyle a_1=a'_1+a'_2; a_2=a'_2+a'_3;...;a_{k-1}=a'_{k-1}+a'_k;a_k=a'_k+a'_1\), és a további jegyeket az előző esethez hasonlóan megint szétosztjuk. Ezzel ismét \(\displaystyle k\) darab csupa különböző \(\displaystyle H\)-beli \(\displaystyle a_i\) összegére bontottuk fel \(\displaystyle kd\)-t.
(Pl. ha \(\displaystyle b=7=21_3 \Rightarrow d=1010101010101_3 \Rightarrow kd=7 \cdot d= 21212121212121_3 \Rightarrow a'_1=1010; a'_2=101000, a'_3=10100000,a'_4=1010000000,a'_5=101000000000,a'_6=10100000000000, a'_7=10000000000010\).
És a további 2-es jegyeket szétosztva (mondjuk mind \(\displaystyle a_7\)-nek adva): \(\displaystyle a_7=11010101010111; a_6=a'_6;a_5=a'_5;...;a_1=a'_1=1010\).)

Továbbá nyilvánvaló, hogy \(\displaystyle k=2\) nem érdekes \(\displaystyle H\)-hoz, hiszen tetszőleges átlagos \(\displaystyle d \in H\) szám duplája csak \(\displaystyle 0\) és \(\displaystyle 2\) jegyekből áll hármas számrendszerben, viszont ez nem állhat elő csupán két darab különböző \(\displaystyle H\)-beli szám összegeként.

b) Mivel a \(\displaystyle k>2\) számok már \(\displaystyle H\)-hoz érdekesek voltak, így \(\displaystyle H'\)-höz is érdekesek, csak \(\displaystyle k=2\) a kérdés.
\(\displaystyle c\) hármas számrendszerbeli alakjában biztosan van 2-es jegy (különben \(\displaystyle c \in H\) lenne). Legyen az utolsó 2-es a \(\displaystyle 3^n\) helyiértéken. Ekkor a \(\displaystyle 2c\) szám 3-as számrendszerbeli alakjában \(\displaystyle 2c=c_m c_{m-1}...1...c_1\) alakú (de a jelzett \(\displaystyle 3^{n+1}\) helyiértéken álló 1-es előtt biztosan van legalább egy további nem nulla jegy). Legyen ekkor \(\displaystyle a'_1=0;a'_2=3^{n+1}\) és innen az \(\displaystyle a_1,a_2\) számokat a fentiekhez hasonlóan kapjuk.
– Ha a \(\displaystyle 2c=c_m c_{m-1}...1...c_1\) szám \(\displaystyle l \neq (n+1)\)-edik \(\displaystyle c_l\) jegyére \(\displaystyle c_l=1\), akkor az \(\displaystyle a_1\) szám \(\displaystyle l\)-edik jegye \(\displaystyle 1\), míg \(\displaystyle a_2\) \(\displaystyle l\)-edik jegye \(\displaystyle 0\).
– Ha a \(\displaystyle 2c\) szám \(\displaystyle l \neq (n+1)\)-edik jegye \(\displaystyle c_l=2\), akkor az \(\displaystyle a_1\) szám \(\displaystyle l\)-edik jegye \(\displaystyle 1\), és \(\displaystyle a_2\) \(\displaystyle l\)-edik jegye is \(\displaystyle 1\).
– Míg ha a \(\displaystyle 2c\) szám \(\displaystyle l \neq (n+1)\)-edik jegye \(\displaystyle c_l=0\), akkor az \(\displaystyle a_1\) szám \(\displaystyle l\)-edik jegye \(\displaystyle 0\), és \(\displaystyle a_2\) \(\displaystyle l\)-edik jegye is \(\displaystyle 0\).
Ekkor \(\displaystyle a_1,a_2\) különböző számok (hiszen \(\displaystyle (n+1)\)-dik jegyükben mások) és elemei \(\displaystyle H\)-nak (\(\displaystyle a_1>0\) is teljesül, mert \(\displaystyle 2c\)-nek legalább két nem 0 jegye van).
Mivel ekkor \(\displaystyle c=\dfrac{a_1+a_2}{2}\) teljesül, igazoltuk, hogy \(\displaystyle k=2\) is érdekes \(\displaystyle H'\)-höz.


Statisztika:

A B. 5088. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2020. márciusi matematika feladatai