Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 5090. feladat (2020. március)

B. 5090. Egy szabályos érme egyik felén \(\displaystyle +1\), másik felén \(\displaystyle -1\) szerepel. Egymás után \(\displaystyle n\)-szer feldobjuk az érmét, és egy sorba lejegyezzük az \(\displaystyle n\) db eredményt. Ezután bármely két szomszédos szám alá leírjuk a szorzatukat, így egy újabb számsorhoz jutunk, ami már csak \(\displaystyle (n-1)\) db számból áll. Ezt a műveletet többször is végrehajtjuk, egészen addig, amíg egy egyetlen számból álló sorhoz nem jutunk. Mennyi az így kapott számháromszögben lévő \(\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}\) darab szám összegének a várható értéke?

(3 pont)

A beküldési határidő 2020. április 14-én LEJÁRT.


1. megoldás.: Hívjuk a számháromszög felső sorát első sornak, az alatta lévőt másodiknak és így tovább. Az \(\displaystyle n\)-dik sorban lévő \(\displaystyle k\)-adik számot pedig jelöljük \(\displaystyle a_{n,k}\)-val. Nevezzük ,,\(\displaystyle a_{n,k}\)-csúcsú számháromszögnek'' a számháromszögünknek azon részét, mely az \(\displaystyle a_{n,k}; a_{n-1,k}, a_{n-1,k+1}; a_{n-2,k}, a_{n-2,k+1}, a_{n-2,k+2};...; a_{1,k}, a_{1,k+1}, ...,a_{1,n+k-1}\) számokból áll. (Azaz az első sorban lévő \(\displaystyle a_{1,k}\)-csúcsú háromszögek maguk az \(\displaystyle a_{1,k}\) számok; a második sorban lévő \(\displaystyle a_{2,k}\)-csúcsú háromszögek maguk a számok és a ,,felső két szomszédjuk'' és így tovább.)
Azt fogjuk megmutatni, hogy bármely \(\displaystyle n,k\) esetén annak az esélye, hogy \(\displaystyle a_{n,k}\) értéke +1, pontosan \(\displaystyle \dfrac{1}{2}\).
Ez az első sor bármely \(\displaystyle a_{1,k}\) elemére nyilván igaz.
Másfelől \(\displaystyle n>1\) esetén viszont, ha egy \(\displaystyle a_{n,k}\)-csúcsú számháromszög első sorában az \(\displaystyle a_{1,k+1}, a_{1,k+2}, ..., a_{1,k+n-1}\) elemeket változatlanul hagyom, az \(\displaystyle a_{1,k}\) elemet viszont ellentetjére változtatom, akkor ezzel az \(\displaystyle a_{n,k}\)-csúcsú számháromszögben pontosan az \(\displaystyle a_{2,k}, a_{3,k}, ..., a_{n,k}\) elemeket változatom csak meg, méghozzá mindegyiket az ellentettjére. Mivel \(\displaystyle a_{1,k}\) értéke \(\displaystyle \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}\) eséllyel +1, illetve -1, így \(\displaystyle a_{n,k}\) értéke is \(\displaystyle \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}\) eséllyel lesz +1, illetve -1.
Azaz ekkor \(\displaystyle a_{n,k}\) várható értéke \(\displaystyle \dfrac{1}{2} \cdot(-1) + \dfrac{1}{2} \cdot 1 = 0\).
A várható érték linearitása miatt pedig a táblázatban szereplő számok összegének a várható értéke megegyezik a táblázatban szereplő számok várható értékeinek az összegével, azaz \(\displaystyle \boxed{\: E(\text{összeg}) = 0 \:}\).

2. megoldás.: Hívjuk a számháromszög felső sorát első sornak, az alatta lévőt másodiknak és így tovább. Az \(\displaystyle n\)-dik sorban lévő \(\displaystyle k\)-adik számot pedig jelöljük \(\displaystyle a_{n,k}\)-val.
Nevezzük az \(\displaystyle m\)-dik sort ,,jónak'', ha tetszőleges, a sorban lévő \(\displaystyle a_{m,k}\) számra igaz, hogy annak az esélye, hogy a szám \(\displaystyle +1\) pontosan \(\displaystyle \dfrac{1}{2}\); illetve az \(\displaystyle a_{m,k}\) szám értékétől függetlenül az \(\displaystyle a_{m,k+1}\) számra is igaz, hogy annak az esélye, hogy a szám \(\displaystyle +1\) pontosan \(\displaystyle \dfrac{1}{2}\). Az első sor nyilván jó, hiszen szabályos érmével dobáltunk (és két szomszédos dobás egymástól nyilván független). Megmutatjuk, hogy tetszőleges további sor is jó.
Teljes indukcióval fogunk bizonyítani.
A bázis állítás igazságát (,,első sor jó'') már láttuk.
Tegyük fel, hogy az \(\displaystyle m\)-edik sor jó volt. Azt igazoljuk, hogy ekkor az \(\displaystyle (m+1)\)-edik sor is jó.
Vizsgáljuk az \(\displaystyle (m+1)\)-edik sor tetszőleges \(\displaystyle a_{m+1,k}\) elemét. Mivel \(\displaystyle a_{m+1,k}=a_{m,k} \cdot a_{m,k+1}\), ezért \(\displaystyle a_{m,k}, a_{m,k+1}\) lehetséges értékei alapján 4 aleset van:
\(\displaystyle a_{m,k}=-1, a_{m,k+1}=-1 \Rightarrow a_{m+1,k}=1\);
\(\displaystyle a_{m,k}=-1, a_{m,k+1}=1 \Rightarrow a_{m+1,k}=-1\);
\(\displaystyle a_{m,k}=1, a_{m,k+1}=-1 \Rightarrow a_{m+1,k}=-1\);
\(\displaystyle a_{m,k}=1, a_{m,k+1}=1 \Rightarrow a_{m+1,k}=1\).
Mivel az \(\displaystyle m\)-edik sor jó volt, ezért \(\displaystyle a_{m,k}\) és \(\displaystyle a_{m,k+1}\) is \(\displaystyle \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\) eséllyel +1, illetve -1, azaz mind a 4 aleset valószínűsége \(\displaystyle \dfrac{1}{4}\); és innen annak az esélye, hogy \(\displaystyle a_{m+1,k}\) értéke +1 valóban \(\displaystyle \dfrac{1}{2}\).
Továbbá megmutatjuk, hogy a következő \(\displaystyle A,B\), illetve \(\displaystyle A',B'\) eseménypárok függetlenek (azaz \(\displaystyle P(A \cdot B) = P(A) \cdot P(B)\)). \(\displaystyle A: \; a_{m+1,k}=1\) és \(\displaystyle B: \; a_{m+1,k+1}=1\), illetve \(\displaystyle A': \; a_{m+1,k}=-1\) és \(\displaystyle B': \; a_{m+1,k+1}=-1\) (ennek a megmutatására azért van szükség, hogy a következő sorban is használhassuk a független események szorzási szabályát).
\(\displaystyle P(A \cdot B)=\dfrac{1}{4}\), hiszen az \(\displaystyle A \cdot B\) esemény pontosan akkor következik be, ha \(\displaystyle a_{m,k}=a_{m,k+1}=a_{m,k+2}=1\), vagy \(\displaystyle a_{m,k}=a_{m,k+1}=a_{m,k+2}=-1\), viszont ezen ,,tag-események'' valószínűsége \(\displaystyle \dfrac{1}{8}\); hiszen az \(\displaystyle m\)-edik sor jó volt, és a ,,tényező-valószínűségek'' mindegyike egymástól függetlenül \(\displaystyle \dfrac{1}{2}\). Mivel \(\displaystyle P(A)=P(B)=\dfrac{1}{2}\), ezért \(\displaystyle P(A) \cdot P(B)\) is \(\displaystyle \dfrac{1}{4}\), azaz \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) események függetlenek.
Hasonlóan \(\displaystyle P(A' \cdot B')=\dfrac{1}{4}\), hiszen \(\displaystyle A' \cdot B'\) esemény pontosan akkor következik be, ha \(\displaystyle (a_{m,k}=a_{m,k+2}=1; \text{ és } a_{m,k+1}=-1)\), vagy \(\displaystyle (a_{m,k}=a_{m,k+2}=-1; \text{ és } a_{m,k+1}=1)\), viszont ezen ,,tag-események'' valószínűsége is \(\displaystyle \dfrac{1}{8}\); hiszen az \(\displaystyle m\)-edik sor jó volt, és a ,,tényező-valószínűségek'' mindegyike egymástól függetlenül \(\displaystyle \dfrac{1}{2}\). Mivel \(\displaystyle P(A')=P(B')=\dfrac{1}{2}\), ezért \(\displaystyle P(A') \cdot P(B')\) is \(\displaystyle \dfrac{1}{4}\), azaz \(\displaystyle A'\) és \(\displaystyle B'\) események függetlenek. (Tehát a következő sorban is alkalmazható a független események szorzási szabálya.)
Ezzel (a teljes indukciós bizonyítási séma értelmében) megmutattuk, hogy a számháromszög valamennyi sora jó.
Ekkor a táblázat valamennyi \(\displaystyle a_{m,k}\) elemére ezen elem várható értéke: \(\displaystyle E(a_{m,k})=\dfrac{1}{2} \cdot 1 + \dfrac{1}{2} \cdot (-1)=0\).
A várható érték linearitása miatt pedig a táblázatban szereplő számok összegének a várható értéke megegyezik a táblázatban szereplő számok várható értékeinek az összegével, azaz \(\displaystyle \boxed{\: E(\text{összeg}) = 0 \:}\).


Statisztika:

A B. 5090. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2020. márciusi matematika feladatai