Problem B. 5091. (March 2020)

B. 5091. In a regular dodecagon \(\displaystyle A_1A_2\ldots A_{12}\), let \(\displaystyle P\) denote the intersection of the diagonals \(\displaystyle A_1A_8\) and \(\displaystyle A_6A_{11}\), and let \(\displaystyle R\) denote the intersection of lines \(\displaystyle A_7A_8\) and \(\displaystyle A_9A_{11}\). Show that the line \(\displaystyle PR\) divides diagonal \(\displaystyle A_1A_4\) in a \(\displaystyle 2:1\) ratio.

Based on the idea of B. Bíró, Eger

(5 pont)

Deadline expired on April 14, 2020.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyenek a csúcsok pozitív körüljárás szerint \(\displaystyle A_1, A_2, \ldots, A_{12}\).

Legyen továbbá a 12-szög középpontja \(\displaystyle O\), az \(\displaystyle A_7A_{11}\) átló felezőpontja \(\displaystyle F\), \(\displaystyle A_1A_9\cap A_4A_8=Q\), és \(\displaystyle A_1A_7\cap A_4A_{11}=S\).

Azt fogjuk megmutatni, hogy az \(\displaystyle A_2, P, Q, R, S \) és \(\displaystyle F\) pontok mind egy egyenesen vannak.

A tizenkétszög szabályos, így \(\displaystyle OA_1A_{11}\) és \(\displaystyle OA_9A_{11}\) szabályos háromszögek, az \(\displaystyle A_1OA_9A_{11}\) négyszög rombusz, tehát az \(\displaystyle A_1A_9\) szakasz az \(\displaystyle A_{11}O\) szakasz felezőmerőlegesére illeszkedik.

A tizenkétszög szabályosssága alapján és a kerületi- és középponti szögek felhasználásával \(\displaystyle A_{10}A_{11}O\sphericalangle=A_{11}OQ\sphericalangle=75^{\circ}\), tehát az \(\displaystyle A_{10}A_{11}\) él és az \(\displaystyle A_6A_{11}\) szakasz \(\displaystyle OQ\) felezőmerőlegese az \(\displaystyle A_1A_9\) egyenesre tükrösen helyezkednek el. Ezzel beláttuk, hogy az \(\displaystyle A_{10}A_{11}\) egyenes – és a szimmetria miatt az \(\displaystyle A_6A_7\) egyenes is – illeszkedik a \(\displaystyle Q\) pontra.

Az \(\displaystyle A_2A_7QA_{11}\) és \(\displaystyle A_7RA_{11}S\) négyszögek paralelogrammák, közös középpontjuk \(\displaystyle F\). Tehát \(\displaystyle F\) az \(\displaystyle A_2Q\) szakasz felezőpontja.

Írjuk fel a Pascal-tételt az \(\displaystyle A_1A_7A_8A_4A_{11}A_9\) (kék) hatszögre; azt kapjuk, hogy \(\displaystyle A_1A_7\cap A_4A_{11}=S\), \(\displaystyle A_7A_8\cap A_{11}A_9=R\) és \(\displaystyle A_8A_4\cap A_9A_1=Q\) egy egyenesen van. Tehát \(\displaystyle Q\) és vele \(\displaystyle A_2\) is az \(\displaystyle RFS\) egyenesen van.

Ezután írjuk fel a Pascal-tételt az \(\displaystyle A_1A_8A_7A_6A_{11}A_9\) (piros) hatszögre; azt kapjuk, hogy \(\displaystyle A_1A_8\cap A_6A_{11}=P\), \(\displaystyle A_8A_7\cap A_{11}A_9=R\) és \(\displaystyle A_7A_6\cap A_9A_1=Q\) egy egyenesen van. Tehát \(\displaystyle P\) is rajta van a \(\displaystyle QR\) egyenesen.

Legyen ezek után \(\displaystyle A_2A_3\cap A_1A_9=B\) és \(\displaystyle A_2A_3\cap A_4A_8=C\). Az \(\displaystyle A_1BA_2\) és \(\displaystyle CA_4A_3\) háromszögek egyenlő szárúak, ezért \(\displaystyle BA_2=A_1A_2=A_2A_3=A_3A_4=A_3C\); az \(\displaystyle A_2\) és \(\displaystyle A_3\) pontok harmadolják a \(\displaystyle BC\) szakaszt.

A \(\displaystyle BC\) szakasszal párhuzamos az \(\displaystyle A_1A_4\) átló, tehát az \(\displaystyle A_2PQ\) szakasz ezt is harmadolja.

Statistics:

49 students sent a solution.
5 points:	Arató Zita, Argay Zsolt, Balogh Ádám Péter, Bán-Szabó Áron, Baski Bence, Beke Csongor, Biró 424 Ádám, Bognár 171 András Károly, Csizmadia Miklós, Csonka Illés, Feczkó Nóra, Fekete Richárd, Fleiner Zsigmond, Füredi Erik Benjámin, Gábriel Tamás, Geretovszky Anna, Hámori Janka, Hervay Bence, Jánosik Áron, Kercsó-Molnár Anita, Kiss 014 Dávid, Koleszár Domonkos, Koszta Benedek, Kovács 129 Tamás, Lengyel Ádám, Lovas Márton, Mácsai Dániel, Metzger Ábris András, Molnár-Szabó Vilmos, Móra Márton Barnabás, Móricz Benjámin, Nádor Benedek, Nagy 551 Levente, Németh Márton, Osztényi József, Seres-Szabó Márton, Somogyi Dalma, Szabó 991 Kornél, Sztranyák Gabriella, Szűcs 064 Tamás, Terjék András József, Tiderenczl Dániel, Velich Nóra.
4 points:	Beinschroth Ninett.
3 points:	2 students.
2 points:	2 students.
0 point:	1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2020