Problem B. 5094. (April 2020)

B. 5094. Prove that if two right-angled triangles have the same perimeter and the same area, then they are congruent.

S. Kiss, Nyíregyháza

(3 pont)

Deadline expired on May 11, 2020.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Fejezzük ki egy derékszögű háromszög \(\displaystyle c\) átfogóját a háromszög \(\displaystyle t\) területének és \(\displaystyle k\) kerületének segítségével. Legyenek a befogók \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\). A kerület ismeretében

\(\displaystyle a+b=k-c.\)

Emeljük mindkét oldalt négyzetre és használjuk fel, hogy a Pitagorasz-tétel alapján \(\displaystyle a^2+b^2=c^2\), továbbá \(\displaystyle 2ab=4t\).

\(\displaystyle a^2+b^2+2ab=k^2-2kc+c^2,\)

\(\displaystyle 4t=k^2-2kc,\)

innen \(\displaystyle c\)-t kifejezve:

\(\displaystyle c=\frac{k^2-4t}{2k}.\)

Tehát a kerület és a terület egyértelműen meghatározza a derékszögű háromszög átfogóját. A két háromszög átfogója ugyanakkora.

Tekintsük most a befogók összegét és szorzatát. Az összeg a két háromszög esetén a kerületek és az átfogók egyenlősége miatt megegyező, a szorzat szintén, mert a terület kétszerese. A két befogó hossza Viete-formulái miatt egy olyan másodfokú egyenlet két gyöke, amelyben a gyökök összege \(\displaystyle k-c\), a gyökök szorzata \(\displaystyle 2t\). Az egyenlet gyökei, vagyis a befogók innen egyértelműen adódnak, tehát a két háromszögnek ugyanakkorák az oldalai, egybevágók.

Statistics:

84 students sent a solution.
3 points:	64 students.
2 points:	13 students.
1 point:	5 students.
0 point:	2 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2020