Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 5095. feladat (2020. április)

B. 5095. Legyenek \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) nullától különböző egész számok. Bizonyítsuk be, hogy ha az \(\displaystyle \frac{ab}{c}\), \(\displaystyle \frac{bc}{a}\) és \(\displaystyle \frac{ca}{b}\) számok összege egész, akkor külön-külön is egészek.

George Stoica (Saint John, Kanada)

(3 pont)

A beküldési határidő 2020. május 11-én LEJÁRT.


Megoldás. Megmutatjuk, hogy \(\displaystyle \frac{ab}{c}\) egész; az \(\displaystyle a,b,c\) közötti logikai szimmetria alapján ugyanígy a másik két törtről is igazolható, hogy egész.

Ahhoz, hogy \(\displaystyle \frac{ab}{c}\) egész legyen (a számelmélet alaptétele alapján) pontosan annak kell teljesülnie, hogy bármely \(\displaystyle p\) prímszám legalább akkora kitevővel szerepel \(\displaystyle ab\) prímtényezős felbontásában, mint \(\displaystyle c\)-ében. Indirekten tegyük fel, hogy \(\displaystyle \frac{ab}{c}\) nem egész, ekkor \(\displaystyle c\) valamelyik \(\displaystyle p\) prímosztója nagyobb kitevővel szerepel \(\displaystyle c\) prímtényezős felbontásában, mint \(\displaystyle ab\)-ében.

Jelölje rendre \(\displaystyle \alpha,\beta,\gamma\) azt, hogy \(\displaystyle p\) milyen kitevővel szerepel \(\displaystyle a,b,c\) prímtényezős felbontásában, ekkor a korábbiak alapján – indirekt feltevésünk szerint – \(\displaystyle \alpha+\beta<\gamma\).

Tudjuk, hogy

\(\displaystyle \frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}=\frac{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}{abc}\)

egész, így speciálisan, \(\displaystyle p\) kitevője \(\displaystyle abc\) prímtényezős felbontásában legfeljebb akkora, mint a számlálóében. Világos, hogy az \(\displaystyle abc\) szorzatban \(\displaystyle p\) kitevője \(\displaystyle \alpha+\beta+\gamma\). Mivel \(\displaystyle b^2c^2+c^2a^2=c^2(a^2+b^2)\) osztható \(\displaystyle p^{2\gamma+2\min(\alpha,\beta)}\)-val, viszont \(\displaystyle a^2b^2\)-ben \(\displaystyle p\) kitevője csak \(\displaystyle {2\alpha+2\beta}\) (ez \(\displaystyle {2\gamma+2\min(\alpha,\beta)}\)-nál kisebb érték, hiszen \(\displaystyle \alpha+\beta<\gamma\)), ezért a számlálóban \(\displaystyle p\) kitevője \(\displaystyle 2\alpha+2\beta\). Vagyis ha a tört egész, akkor \(\displaystyle 2\alpha+2\beta\geq \alpha+\beta+\gamma\), vagyis \(\displaystyle \alpha+\beta\geq \gamma\), ez viszont ellentmondás.

Ez az ellentmondás mutatja, hogy valójában \(\displaystyle \frac{ab}{c}\) egész, és ehhez hasonlóan \(\displaystyle \frac{bc}{a}\) és \(\displaystyle \frac{ca}{b}\) is egészek.


Statisztika:

A B. 5095. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2020. áprilisi matematika feladatai