Problem B. 5095. (April 2020)

B. 5095. Let \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) denote distinct nonzero integers. Prove that if the sum of the three numbers \(\displaystyle \frac{ab}{c}\), \(\displaystyle \frac{bc}{a}\) and \(\displaystyle \frac{ca}{b}\) is an integer, then each of the three numbers is an integer.

G. Stoica, Saint John, Canada

(3 pont)

Deadline expired on May 11, 2020.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Megmutatjuk, hogy \(\displaystyle \frac{ab}{c}\) egész; az \(\displaystyle a,b,c\) közötti logikai szimmetria alapján ugyanígy a másik két törtről is igazolható, hogy egész.

Ahhoz, hogy \(\displaystyle \frac{ab}{c}\) egész legyen (a számelmélet alaptétele alapján) pontosan annak kell teljesülnie, hogy bármely \(\displaystyle p\) prímszám legalább akkora kitevővel szerepel \(\displaystyle ab\) prímtényezős felbontásában, mint \(\displaystyle c\)-ében. Indirekten tegyük fel, hogy \(\displaystyle \frac{ab}{c}\) nem egész, ekkor \(\displaystyle c\) valamelyik \(\displaystyle p\) prímosztója nagyobb kitevővel szerepel \(\displaystyle c\) prímtényezős felbontásában, mint \(\displaystyle ab\)-ében.

Jelölje rendre \(\displaystyle \alpha,\beta,\gamma\) azt, hogy \(\displaystyle p\) milyen kitevővel szerepel \(\displaystyle a,b,c\) prímtényezős felbontásában, ekkor a korábbiak alapján – indirekt feltevésünk szerint – \(\displaystyle \alpha+\beta<\gamma\).

Tudjuk, hogy

\(\displaystyle \frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}=\frac{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}{abc}\)

egész, így speciálisan, \(\displaystyle p\) kitevője \(\displaystyle abc\) prímtényezős felbontásában legfeljebb akkora, mint a számlálóében. Világos, hogy az \(\displaystyle abc\) szorzatban \(\displaystyle p\) kitevője \(\displaystyle \alpha+\beta+\gamma\). Mivel \(\displaystyle b^2c^2+c^2a^2=c^2(a^2+b^2)\) osztható \(\displaystyle p^{2\gamma+2\min(\alpha,\beta)}\)-val, viszont \(\displaystyle a^2b^2\)-ben \(\displaystyle p\) kitevője csak \(\displaystyle {2\alpha+2\beta}\) (ez \(\displaystyle {2\gamma+2\min(\alpha,\beta)}\)-nál kisebb érték, hiszen \(\displaystyle \alpha+\beta<\gamma\)), ezért a számlálóban \(\displaystyle p\) kitevője \(\displaystyle 2\alpha+2\beta\). Vagyis ha a tört egész, akkor \(\displaystyle 2\alpha+2\beta\geq \alpha+\beta+\gamma\), vagyis \(\displaystyle \alpha+\beta\geq \gamma\), ez viszont ellentmondás.

Ez az ellentmondás mutatja, hogy valójában \(\displaystyle \frac{ab}{c}\) egész, és ehhez hasonlóan \(\displaystyle \frac{bc}{a}\) és \(\displaystyle \frac{ca}{b}\) is egészek.

Statistics:

52 students sent a solution.
3 points:	Arató Zita, Argay Zsolt, Baski Bence, Csizmadia Miklós, Csonka Illés, Feczkó Nóra, Fleiner Zsigmond, Fülöp Csilla, Füredi Erik Benjámin, Gábriel Tamás, Geretovszky Anna, Hámori Janka, Hervay Bence, Jánosik Áron, Jánosik Máté, Kercsó-Molnár Anita, Kerekes Boldizsár, Kovács 129 Tamás, Lovas Márton, Mácsai Dániel, Móra Márton Barnabás, Nádor Benedek, Nagy 551 Levente, Szabó 991 Kornél, Szakács Ábel, Sztranyák Gabriella, Terjék András József, Tiderenczl Dániel, Vakaris Klyvis, Varga Boldizsár, Velich Nóra, Wiener Anna.
2 points:	Mohay Lili Veronika, Seres-Szabó Márton, Zempléni Lilla.
1 point:	12 students.
0 point:	5 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2020