Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 5096. feladat (2020. április)

B. 5096. Az \(\displaystyle ABC\) egységnyi oldalú szabályos háromszögben legyen \(\displaystyle P\) a beírható körvonal tetszőleges pontja. Jelölje a \(\displaystyle P\) pont merőleges vetületét a \(\displaystyle BC\), \(\displaystyle AC\) és \(\displaystyle AB\) oldalakra rendre \(\displaystyle D\), \(\displaystyle E\), illetve \(\displaystyle F\). Igazoljuk, hogy a \(\displaystyle DEF\) háromszög területe \(\displaystyle P\) választásától független állandó.

(4 pont)

A beküldési határidő 2020. május 11-én LEJÁRT.


Megoldás. Használjuk az ábra jelöléseit, legyenek az oldalvektorok \(\displaystyle \overrightarrow{AB}=\mathbf c\), \(\displaystyle \overrightarrow{BC}=\mathbf a\) és \(\displaystyle \overrightarrow{CA}=\mathbf b\); nyilván \(\displaystyle |\mathbf a|=|\mathbf b| = |\mathbf c|= 1\). Legyen továbbá \(\displaystyle \overrightarrow {OP}=\mathbf p\), ahol \(\displaystyle |\mathbf p|= r=1/(2\sqrt 3)\) a beírt kör sugara.

A skaláris szorzat geometriai jelentése szerint az \(\displaystyle \mathbf a \mathbf p\) skaláris szorzat éppen az \(\displaystyle A_1D\) szakasz előjeles hossza, így \(\displaystyle BD=BA_1\pm A_1D=1/2+\mathbf a \mathbf p\). Hasonlóan látható, hogy \(\displaystyle DC=1/2-\mathbf a \mathbf p\); \(\displaystyle CE=1/2+\mathbf b \mathbf p\); \(\displaystyle EA=1/2-\mathbf b \mathbf p\); \(\displaystyle AF=1/2+\mathbf c \mathbf p\) és \(\displaystyle FB=1/2-\mathbf c \mathbf p\).

A \(\displaystyle DEF\) háromszög területét megkapjuk, ha az \(\displaystyle FBD\), \(\displaystyle DCE\) és \(\displaystyle EAF\) háromszögek területeinek összegét levonjuk az \(\displaystyle ABC\) területéből.

$$\begin{align*} & T_{BDF}+T_{DCE}+T_{EAF}=\frac{BD \cdot BF\cdot \sin 60^\circ}{2}+\frac{CD \cdot CE\cdot \sin 60^\circ}{2}+\frac{AE \cdot AF\cdot \sin 60^\circ}{2}=\\ & = \frac{\sqrt 3}{4}\left [(1/2+\mathbf a \mathbf p)(1/2-\mathbf c \mathbf p)+(1/2-\mathbf a \mathbf p)(1/2+\mathbf b \mathbf p)+(1/2-\mathbf b \mathbf p)(1/2+\mathbf c \mathbf p) \right ]=\\ & =\frac{\sqrt 3}{4}\left [\frac 34 - \left ((\mathbf a \mathbf p)(\mathbf b \mathbf p)+(\mathbf a \mathbf p)(\mathbf c \mathbf p)+(\mathbf b \mathbf p)(\mathbf c \mathbf p) \right )\right ] \end{align*}$$

Ha \(\displaystyle \mathbf p\) és \(\displaystyle \mathbf a\) bezárt szöge \(\displaystyle \theta\), akkor \(\displaystyle \mathbf p\) és \(\displaystyle \mathbf b\) szöge \(\displaystyle \theta +120^\circ\), valamint \(\displaystyle \mathbf p\) és \(\displaystyle \mathbf c\) szöge \(\displaystyle \theta +240^\circ\), hiszen az \(\displaystyle \mathbf a\), \(\displaystyle \mathbf b\) és \(\displaystyle \mathbf c\) vektorok egymás \(\displaystyle \pm 120^\circ\)-os elforgatottjai. Így

$$\begin{align*} &(\mathbf a \mathbf p)(\mathbf b \mathbf p)+(\mathbf a \mathbf p)(\mathbf c \mathbf p)+(\mathbf b \mathbf p)(\mathbf c \mathbf p)=r^2(\cos \theta \cos (\theta +120^\circ)+\cos \theta \cos (\theta +240^\circ)+\cos (\theta +120^\circ)\cos (\theta +240^\circ))=\\ & =r^2\left [ \cos \theta\left ( \frac{-\cos \theta}{2}-\frac{\sqrt 3 \sin \theta}{2} \right )+ \cos \theta\left ( \frac{-\cos \theta}{2}+\frac{\sqrt 3 \sin \theta}{2} \right )+\left ( \frac{-\cos \theta}{2}-\frac{\sqrt 3 \sin \theta}{2} \right ) \left ( \frac{-\cos \theta}{2}+\frac{\sqrt 3 \sin \theta}{2} \right ) \right ]=\\ &= r^2\left (\frac {-3\cos^2 \theta}{4}+\frac {-3\sin^2 \theta}{4} \right )=\frac 1{12} \cdot \frac {-3}4=\frac {-1}{16}, \end{align*}$$

ahol a számolásban felhasználtuk a koszinusz függvény addíciós formuláját. Innen pedig

\(\displaystyle T_{DEF}=T_{ABC}-(T_{BDF}+T_{DCE}+T_{EAF})=\frac{\sqrt 3}{4}-\frac{\sqrt 3}{4}\left (\frac 34+ \frac 1 {16} \right)=\frac{3\sqrt 3}{64},\)

ami valóban \(\displaystyle P\)-től független állandó.


Statisztika:

A B. 5096. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2020. áprilisi matematika feladatai