Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 5097. feladat (2020. április)

B. 5097. Az \(\displaystyle x_1,x_2,\ldots,x_n\) pozitív számok szorzata \(\displaystyle 1\). Igazoljuk, hogy

\(\displaystyle x_1^4+x_2^4+\ldots+x_n^4 \ge x_1^3+x_2^3+\ldots+x_n^3. \)

Dinu Ovidiu-Gabriel (Bălcești, Románia)

(4 pont)

A beküldési határidő 2020. május 11-én LEJÁRT.


1. Megoldás. Az egyenlőtlenség rendezés után a következő alakban is írható:

\(\displaystyle x_1^3(x_1-1)+x_2^3(x_2-1)+\dots+x_n^3(x_n-1)\geq 0.\)

A változók közötti szimmetria alapján feltehetjük, hogy \(\displaystyle x_1\leq x_2\leq \dots \leq x_n\). Ekkor egyrészt

\(\displaystyle x_1^3\leq x_2^3\leq \dots \leq x_n^3,\)

másrészt

\(\displaystyle x_1-1\leq x_2-1\leq \dots \leq x_n-1\)

is teljesül.

A Csebisev-egyenlőtlenség alapján

\(\displaystyle x_1^3(x_1-1)+x_2^3(x_2-1)+\dots+x_n^3(x_n-1)\geq \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n x_i^3\sum\limits_{i=1}^n (x_i-1). \)\(\displaystyle {(*)}\)

A számtani és mértani közép, valamint a harmadik hatványközép és a mértani közép közötti egyenlőtlenségek alapján kapjuk, hogy

\(\displaystyle \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n x_i^3\geq (x_1x_2\dots x_n)^{3/n}=1^{3/n}=1,\)

valamint

\(\displaystyle \sum\limits_{i=1}^n (x_i-1)=\left(\sum\limits_{i=1}^n x_i\right)-n\geq n(x_1x_2\dots x_n)^{1/n}-n=n\cdot 1^{1/n}-n=0.\)

Ezek alapján a bizonyítandó egyenlőtlenség valóban teljesül, hiszen a két legutóbbi egyenlőtlenség szorzatát véve kapjuk, hogy \(\displaystyle (*)\) jobb oldala nemnegatív, így a bal oldala is.

Az alkalmazott egyenlőtlenségek alapján egyből leolvasható, hogy egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha \(\displaystyle x_1=x_2=\dots=x_n=1\).

2. Megoldás. Az egyenlőtlenség jobb oldalát \(\displaystyle 1=(x_1x_2\dots x_n)^{1/n}\)-nel szorozva az igazolandó egyenlőtlenséget homogenizálhatjuk:

\(\displaystyle x_1^4+x_2^4+\ldots+x_n^4 \ge x_1^{3+1/n}x_2^{1/n}\dots x_n^{1/n}+x_1^{1/n}x_2^{3+1/n}\dots x_n^{1/n}+\ldots+x_1^{1/n}x_2^{1/n}\dots x_n^{3+1/n}. \)

Ez az egyenlőtlenség pedig a Muirhead-egyenlőtlenség szerint teljesül, azt az \(\displaystyle a_1=4,a_2=0,\dots,a_n=0\) és \(\displaystyle b_1=3+1/n,b_2=1/n,\dots,b_n=1/n\) kitevősorozatokra alkalmazva. A feltételek valóban teljesülnek, hiszen

\(\displaystyle a_1+a_2+\dots+a_n=b_1+b_2+\dots+b_n=4,\)

továbbá \(\displaystyle a_1=4\) miatt az

\(\displaystyle a_1+\dots+a_i\geq b_1+\dots+b_i\)

egyenlőtlenségek is teljesülnek, hiszen a bal oldal mindig 4, a jobb oldal pedig vagy kisebb 4-nél (ha \(\displaystyle i=1,2,\dots,n-1\)) vagy éppen 4 (ha \(\displaystyle i=n\)).

3. Megoldás. Először is megmutatjuk, hogy

\(\displaystyle x^4-x^3\geq x-1\geq \ln x\)

teljesül, ha \(\displaystyle x>0\). Az első egyenlőtlenség átrendezve:

\(\displaystyle x^4-x^3-x+1\geq 0,\)

majd szorzattá alakítva

\(\displaystyle (x^2+x+1)(x-1)^2\geq 0.\)

Ha \(\displaystyle x>1\) vagy \(\displaystyle 0<x<1\), akkor a bal oldal mindkét tényezője pozitív, ha pedig \(\displaystyle x=1\), akkor mindkét tényező 0. Az egyenlőtlenség tehát valóban teljesül, egyenlőség pedig csak \(\displaystyle x=1\) esetén áll fenn.

A második egyenlőtlenség, vagyis \(\displaystyle x-1\geq \ln x\) pedig a jól ismert \(\displaystyle e^y\geq 1+y\) egyenlőtlenségből adódik \(\displaystyle y=\ln x\) választással. (Megjegyezzük, hogy egyenlőség itt is csak \(\displaystyle x=1\) esetén áll fenn.)

Ezek alapján a bizonyítandó egyenlőtlenség már adódik, hiszen:

\(\displaystyle \sum\limits_{i=1}^n (x_i^4-x_i^3)\geq \sum\limits_{i=1}^n(x_i-1)\geq \sum\limits_{i=1}^n (\ln x_i)=\ln(x_1x_2\dots x_n)=\ln 1=0.\)

4. Megoldás. Jelölje az \(\displaystyle x_1,\dots,x_n\) számok harmadik, negyedik hatványközepét, illetve mértani közepét rendre \(\displaystyle H_3,H_4\), illetve \(\displaystyle M\). Ezen közepek közötti ismert egyenlőtlenségek alapján:

\(\displaystyle \sum\limits_{i=1}^n x_i^4 = n\cdot (H_4)^4 \ge n \cdot (H_3)^3 \cdot M = \left(\sum\limits_{i=1}^n x_i^3\right) \cdot 1,\)

vagyis a bizonyítandó állítás teljesül.


Statisztika:

A B. 5097. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2020. áprilisi matematika feladatai