Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 5099. feladat (2020. április)

B. 5099. Az \(\displaystyle ABCD\) rombusz \(\displaystyle A\)-nál lévő szöge \(\displaystyle 60^\circ\). A rombuszba olyan ellipszist írtunk, amelynek tengelyei a rombusz átlói, továbbá az \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle AD\) oldalakat az \(\displaystyle A\)-hoz, a \(\displaystyle BC\) és \(\displaystyle CD\) oldalakat a \(\displaystyle C\)-hez közelebbi negyedelőpontjaikban érinti. Legyen \(\displaystyle P\) az ellipszis egy mozgó pontja. Metsszük el a rombusz mindkét középvonalát a \(\displaystyle P\) ponton keresztül húzott, a másik középvonallal párhuzamos egyenessel; jelöljük az így kapott metszéspontokat \(\displaystyle Q\)-val, illetve \(\displaystyle R\)-rel. Mutassuk meg, hogy a \(\displaystyle QR\) szakasz hossza nem függ a \(\displaystyle P\) pont helyzetétől.

(5 pont)

A beküldési határidő 2020. május 11-én LEJÁRT.


Megoldás. Válasszuk a koordináta-rendszert úgy, hogy a rombusz csúcsai \(\displaystyle A(-2\sqrt 3,0)\), \(\displaystyle B(0,-2)\), \(\displaystyle C(2\sqrt 3,0)\) és \(\displaystyle D(0,2)\) legyenek; s keressük az ellipszis egyenletét a szokásos \(\displaystyle x^2/a^2+y^2/b^2=1\) alakban. A \(\displaystyle CD\) oldal \(\displaystyle C\)-hez közelebbi negyedelőpontja \(\displaystyle N(3\sqrt 3/2, 1/2)\), továbbá a \(\displaystyle CD\) oldalegyenes egyenlete (tengelymetszetes alakban felírva) \(\displaystyle x/(2\sqrt 3)+y/2=1\). Jól ismert és számolással könnyen ellenőrizhető, hogy az ellipszishez az \(\displaystyle (x_0,y_0)\) pontjában húzott érintő egyenlete \(\displaystyle xx_0/a^2+yy_0/b^2=1\) (lásd Geometriai feladatok gyűjteménye II., 1001. feladat). Ez alapján az \(\displaystyle N\) pontban érintő \(\displaystyle CD\) egyenes egyenletére \(\displaystyle 3\sqrt 3x/2a^2+y/2b^2=1\) adódik, amiből \(\displaystyle a^2=9\) és \(\displaystyle b^2=1\), azaz az ellpiszis egyenlete \(\displaystyle x^2/9+y^2=1\). Szimmetriai okok miatt ez a többi érintési feltételt is teljesíti.

Legyen most \(\displaystyle P(\hat x, \hat y)\) az ellipszis egy tetszőleges pontja, a középvonalakon a megfelelő vetületei \(\displaystyle R\) és \(\displaystyle Q\) a feladat szövege szerint. Ekkor egyrészt alkalmas valós \(\displaystyle \lambda\) és \(\displaystyle \mu\) számokkal \(\displaystyle \overrightarrow{OR}=\lambda(\sqrt 3, 1)\) és \(\displaystyle \overrightarrow{OQ}=\mu(\sqrt 3, -1)\) (hiszen \(\displaystyle \overrightarrow{OR}\) és \(\displaystyle \overrightarrow{OQ}\) a középvonalakkal párhuzamos vektorok), másrészt \(\displaystyle ORPQ\) paralelogramma, így

\(\displaystyle \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OR}+\overrightarrow{OQ}=\lambda(\sqrt 3, 1) +\mu (\sqrt 3, -1),\)

azaz \(\displaystyle (\hat x, \hat y)=\overrightarrow{OP}=(\sqrt 3 (\lambda + \mu), \lambda-\mu)\). Végül

\(\displaystyle RQ^2=(\lambda \sqrt 3- \mu \sqrt 3)^2+(\lambda + \mu )^2=3\hat y^2+\frac {\hat x^2}3=3(\frac {\hat x^2} 9+ \hat y^2)=3,\)

azaz az \(\displaystyle RQ\) szakasz hossza valóban állandó. Ezt akartuk igazolni.


Statisztika:

A B. 5099. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2020. áprilisi matematika feladatai