Problem B. 5101. (April 2020)
B. 5101. \(\displaystyle ABCDO\) is a four-sided pyramid, and \(\displaystyle P\) is a point in the interior of base \(\displaystyle ABCD\). A plane not passing through \(\displaystyle O\) cuts the lines \(\displaystyle OA\), \(\displaystyle OB\), \(\displaystyle OC\), \(\displaystyle OD\) and \(\displaystyle OP\) at points \(\displaystyle A'\), \(\displaystyle B'\), \(\displaystyle C'\), \(\displaystyle D'\), and \(\displaystyle P'\), respectively. Prove that
\(\displaystyle \frac{t_{PAB}\cdot t_{PCD}}{t_{PBC}\cdot t_{PDA}} = \frac{t_{P'A'B'}\cdot t_{P'C'D'}}{t_{P'B'C'}\cdot t_{P'D'A'}}, \)
where \(\displaystyle t_{XYZ}\) denotes the area of triangle \(\displaystyle XYZ\).
(6 pont)
Deadline expired on May 11, 2020.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. A területek aránya helyett térfogatok arányával fogunk számolni.
Tetszőleges \(\displaystyle X,Y,Z,W\) pontok esetén jelölje \(\displaystyle v_{XYZW}\) az \(\displaystyle XYZW\) tetraéder térfogatát. Legyen a gúla magassága, vagyis az \(\displaystyle O\) pont távolsága az \(\displaystyle ABCD\) síktól \(\displaystyle m\), az \(\displaystyle A'BC'D'\) síktól pedig \(\displaystyle m'\), továbbá legyen \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\), \(\displaystyle d\) és \(\displaystyle p\) az az öt valós szám, amelyre \(\displaystyle \overrightarrow{OA'} = a\cdot \overrightarrow{OA}\), \(\displaystyle \overrightarrow{OB'} = b\cdot \overrightarrow{OB}\), \(\displaystyle \overrightarrow{OC'} = c\cdot \overrightarrow{OC}\), \(\displaystyle \overrightarrow{OD'} = d\cdot \overrightarrow{OD}\), illetve \(\displaystyle \overrightarrow{OP'} = p\cdot \overrightarrow{OP}\). (A pontok és két sík elhelyezkedésétől függően az \(\displaystyle a,b,c,d,p\) számok pozitívak és negatívak is lehetnek.)
Írjuk fel az \(\displaystyle OPAB\) tetraéder térfogatát kétféleképpen, a \(\displaystyle PAB\) lap területével és az \(\displaystyle \overrightarrow{OP}\), \(\displaystyle \overrightarrow{OA}\), \(\displaystyle \overrightarrow{OB}\) élvektorok vegyes szorzatával:
$$\begin{gather*} v_{OPAB} = \frac13 \cdot t_{PAB}\cdot m = \frac16 \Big|\overrightarrow{OP}\cdot\big(\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB}\big)\Big|. \tag{1} \end{gather*}$$Hasonlóan írhatjuk fel az \(\displaystyle OP'A'B'\) tetraéder térfogatát kétféleképpen:
$$\begin{align*} v_{OP'A'B'} &= \frac13 \cdot t_{P'A'B'}\cdot m' = \frac16 \Big|\overrightarrow{OP'}\cdot\big(\overrightarrow{OA'}\times\overrightarrow{OB'}\big)\Big| =\\& = \frac16 \Big|(p\cdot \overrightarrow{OP})\cdot\big((a\cdot\overrightarrow{OA})\times(b\cdot\overrightarrow{OB})\big)\Big| = \frac{|pab|}6 \Big|\overrightarrow{OP}\cdot\big(\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB}\big)\Big| =\\& = |pab| \cdot v_{OPAB}. \tag{2} \end{align*}$$Az (1) és (2) összehasonlításából látjuk, hogy
\(\displaystyle \frac{t_{P'A'B'}}{t_{PAB}} = \frac{3v_{OP'A'B'}/m'}{3v_{OPAB}/m} = \frac{3|pab|\cdot v_{OPAB}/m'}{3v_{OPAB}/m} = \frac{|pab|\cdot m}{m'}. \)
Hasonlóan kaphatjuk, hogy
\(\displaystyle \frac{t_{P'B'C'}}{t_{PBC}} = \frac{|pbc|\cdot m}{m'}, \quad \frac{t_{P'C'D'}}{t_{PCD}} = \frac{|pcd|\cdot m}{m'}, \quad \text{és}\quad \frac{t_{P'D'A'}}{t_{PDA}} = \frac{|pda|\cdot m}{m'}. \)
Ezeket figyelembe véve, a bizonyítandó állítás két oldalának hányadosa:
$$\begin{align*} \frac{\text{baloldal}}{\text{jobboldal}} &= \frac{\dfrac{t_{PAB}\cdot t_{PCD}}{t_{PBC}\cdot t_{PDA}}}{\dfrac{t_{P'A'B'}\cdot t_{P'C'D'}}{t_{P'B'C'}\cdot t_{P'D'A'}}} = \frac{t_{PAB}}{t_{P'A'B'}} \cdot \frac{t_{PCD}}{t_{P'C'D'}} \cdot \frac{t_{P'B'C'}}{t_{PBC}} \cdot \frac{t_{P'D'A'}}{t_{PDA}} =\\ &= \frac{m'}{|pab|\cdot m} \cdot \frac{m'}{|pcd|\cdot m} \cdot \frac{|pbc|\cdot m}{m'} \cdot \frac{|pda|\cdot m}{m'} = 1. \end{align*}$$Statistics:
12 students sent a solution. 6 points: Balogh Ádám Péter, Bán-Szabó Áron, Beke Csongor, Fleiner Zsigmond, Füredi Erik Benjámin, Kovács 129 Tamás, Seres-Szabó Márton, Szabó 991 Kornél, Sztranyák Gabriella, Tiderenczl Dániel. 5 points: Velich Nóra. 1 point: 1 student.
Problems in Mathematics of KöMaL, April 2020