Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 5104. feladat (2020. május)

B. 5104. Legyenek az \(\displaystyle ABC\) háromszög beírt körének érintési pontjai az oldalakon \(\displaystyle A_1\), \(\displaystyle B_1\) és \(\displaystyle C_1\), a háromszög köréírt, illetve beírt körének sugara \(\displaystyle R\) és \(\displaystyle r\). Mutassuk meg, hogy az \(\displaystyle A_1B_1C_1\) és \(\displaystyle ABC\) háromszögek területének aránya \(\displaystyle r:2R\).

(4 pont)

A beküldési határidő 2020. június 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Legyen a beírt kör középpontja \(\displaystyle O\), az \(\displaystyle A_1B_1C_1\) háromszög területe \(\displaystyle t\), az \(\displaystyle ABC\) háromszög területe pedig \(\displaystyle T\). Az \(\displaystyle A_1, B_1, C_1\) pontok érintési pontok, így az \(\displaystyle ABC\) háromszög beírt köre egyben az \(\displaystyle A_1B_1C_1\) háromszög körülírt köre is.

Az \(\displaystyle A_1B_1C_1\) háromszög csúcsait összekötjük a beírt kör \(\displaystyle O\) középpontjával. Ezzel felbontottuk ezt a háromszöget három egyenlő szárú háromszögre, melyeknek szárai mind \(\displaystyle r\) hosszúságúak. Az \(\displaystyle AB_1O\sphericalangle\) és az \(\displaystyle AC_1O\sphericalangle\) derékszögek, ezért az \(\displaystyle AB_1OC_1\) négyszögből \(\displaystyle B_1OC_1\sphericalangle=180^{\circ}-\alpha\). Hasonlóan látjuk, hogy \(\displaystyle C_1OA_1\sphericalangle=180^{\circ}-\beta\) és \(\displaystyle A_1OB_1\sphericalangle=180^{\circ}-\gamma\). Két oldal és a közbezárt szög segítségével felírjuk az egyenlő szárú háromszögek területét és felhasználjuk, hogy szög és kiegészítő szögének szinusza megegyezik.

\(\displaystyle t=\frac{1}{2}r^2\sin(180^{\circ}-\alpha)+\frac{1}{2}r^2\sin(180^{\circ}-\beta)+\frac{1}{2}r^2\sin(180^{\circ}-\gamma)=\frac{r^2}{2}(\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma).\)

Az \(\displaystyle ABC\) háromszög területét a félkerülettel és a beírt kör sugarával határozzuk meg, majd felhasználjuk az általánosított szinusztételt, amely szerint

\(\displaystyle a=2R\sin\alpha, b=2R\sin\beta, c=2R\sin\gamma.\)

\(\displaystyle T=r\cdot s =\frac{r}{2}(a+b+c)=rR(\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma).\)

Ezután már felírható a két terület aránya:

\(\displaystyle \frac{t}{T}=\frac{\frac{r^2}{2}(\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma)}{rR(\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma)}=\frac{r^2}{2Rr}=\frac{r}{2R}.\)


Statisztika:

A B. 5104. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2020. májusi matematika feladatai