Problem B. 5107. (May 2020)

B. 5107. The diagonals of a cyclic quadrilateral \(\displaystyle ABCD\) intersect at \(\displaystyle F\), the lines of sides \(\displaystyle AB\) and \(\displaystyle CD\) intersect at \(\displaystyle E\), the midpoint of line segment \(\displaystyle EF\) is \(\displaystyle G\), the midpoint of line segment \(\displaystyle BF\) is \(\displaystyle H\), and the midpoint of side \(\displaystyle BC\) is \(\displaystyle I\). Show that \(\displaystyle \angle GFD=\angle GIH\).

(6 pont)

Deadline expired on June 10, 2020.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen \(\displaystyle K\) az \(\displaystyle F\) pont tükörképe az \(\displaystyle I\) pontra; ekkor tehát a \(\displaystyle BKCF\) négyszög paralelogramma, és \(\displaystyle FCB\sphericalangle=KBC\sphericalangle\). A \(\displaystyle GHI\) háromszög középpontosan hasonló az \(\displaystyle EBK\) háromszöghöz, ezért \(\displaystyle GIH\sphericalangle=EKB\sphericalangle\). Elég tehát azt igazolnunk, hogy \(\displaystyle GFD\sphericalangle=EKB\sphericalangle\).

Azt állítjuk, hogy az \(\displaystyle EBKC\) (esetleg konkáv) négyszög hasonló az \(\displaystyle EDFA\) négyszöghöz, és a két négyszög ellentétes írányítású. A paralelogrammából és a kerületi szögek tételéből \(\displaystyle KBC\sphericalangle=ACB\sphericalangle=ADF\sphericalangle\), továbbá \(\displaystyle CKB\sphericalangle=BFC\sphericalangle=DFA\sphericalangle\), így a \(\displaystyle BCK\) háromszög hasonló a \(\displaystyle DAF\) háromszöghöz, és ellentétes írányítású vele. Ugyanígy, \(\displaystyle CBE\sphericalangle=ADE\sphericalangle\) (ez akkor is igaz, ha az \(\displaystyle E\) pont az \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle DC\) félegyeneseken helyezkedik el), és \(\displaystyle BEC\sphericalangle=AED\sphericalangle\), ami miatt a \(\displaystyle BCE\) háromszög is hasonló a \(\displaystyle DAE\) háromszöghöz, és ellentétes írányítású vele. Az az irányításváltó hasonlóság, amely a \(\displaystyle B,C\) pontokat a \(\displaystyle D,A\) pontokba viszi, egyúttal a \(\displaystyle K,E\) pontokat az \(\displaystyle E,F\) pontokba képezi. Ezzel beláttuk, hogy az \(\displaystyle EBKC\) négyszög hasonló az \(\displaystyle EDFA\) négyszöghöz, és ellentétes írányítású vele.

A két négyszög hasonlósága miatt az \(\displaystyle EKB\sphericalangle\) és \(\displaystyle EFD\sphericalangle\) szögek egyenlők és ellentétes irányításúak. Tehát

\(\displaystyle GFD\sphericalangle=EFD\sphericalangle=EKB\sphericalangle=GIH\sphericalangle. \)

Statistics:

25 students sent a solution.
6 points:	Arató Zita, Balogh Ádám Péter, Bán-Szabó Áron, Baski Bence, Beinschroth Ninett, Beke Csongor, Csonka Illés, Fekete Richárd, Fleiner Zsigmond, Füredi Erik Benjámin, Geretovszky Anna, Kercsó-Molnár Anita, Kovács 129 Tamás, Lengyel Ádám, Mohay Lili Veronika, Móra Márton Barnabás, Nádor Benedek, Németh Márton, Somogyi Dalma, Sztranyák Gabriella, Tiderenczl Dániel, Velich Nóra, Wiener Anna.
2 points:	1 student.
0 point:	1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2020