Problem B. 5110. (September 2020)

B. 5110. The tangents drawn to the inscribed circle of an isosceles triangle, parallel to the sides, cut off three small triangles. Prove that in the small triangles lying on the base of the large triangle, the heights drawn to the base are equal to the radius of the inscribed circle of the large triangle.

(3 pont)

Deadline expired on October 12, 2020.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A kör bármely két, egymással párhuzamos érintője egymás tükörképe a kör \(\displaystyle O\) középpontjára. Így az \(\displaystyle AC'\) egyenes \(\displaystyle O\)-ra vonatkozó tükörképe az \(\displaystyle A'C''\) egyenes, hasonlóan a \(\displaystyle B'C'\) és \(\displaystyle B''C''\) egyenesek is egymás \(\displaystyle O\)-ra vonatkozó tükörképei. Ezért \(\displaystyle C''\), az \(\displaystyle A'C''\) és \(\displaystyle B''C''\) egyenesek metszéspontja és \(\displaystyle C'\), az \(\displaystyle AC'\) és \(\displaystyle B'C'\) egyenesek metszéspontja is egymás tükörképei \(\displaystyle O\) szerint.

Másfelől az \(\displaystyle ABC\) háromszög tengelyesen szimmetrikus az \(\displaystyle OC\) egyenesre, ezért \(\displaystyle C'\) és \(\displaystyle C''\) egymás tükörképei az \(\displaystyle OC\) egyenesre nézve is, tehát a \(\displaystyle C'C''\) szakasz párhuzamos a háromszög \(\displaystyle AB\) alapjával és a felezőpontja \(\displaystyle O\), amiből következik a feladat állítása.

Statistics:

146 students sent a solution.
3 points:	100 students.
2 points:	23 students.
1 point:	16 students.
0 point:	6 students.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2020