Problem B. 5111. (September 2020)

B. 5111. Let \(\displaystyle a\) and \(\displaystyle b\) be real numbers such that \(\displaystyle a + b = 1\) and \(\displaystyle a^2 + b^2 = 2\). Find the value of \(\displaystyle a^8 + b^8\).

Based on the idea of M. Szalai, Szeged

(3 pont)

Deadline expired on October 12, 2020.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

1. megoldás. Az első egyenlet alapján \(\displaystyle b=1-a\), ezt a második egyenletbe behelyettesítve rendezés után a

\(\displaystyle 2a^2-2a-1=0\)

másodfokú egyenletet kapjuk. Ennek megoldásai:

\(\displaystyle a=\frac{2\pm \sqrt{2^2+4\cdot 2}}{2\cdot 2}=\frac12\pm\frac{\sqrt3}{2}.\)

Így \(\displaystyle \{a,b\}=\left\{ \frac12-\frac{\sqrt3}{2},\frac12+\frac{\sqrt3}{2} \right\}\). A megadott feltételek ilyenkor valóban teljesülnek.

A binomiális tétel alapján

\(\displaystyle (1\pm \sqrt{3})^8=\binom{8}{0}\pm\binom{8}{1}\sqrt{3}+\binom{8}{2}\sqrt{3}^2\pm \dots +\binom{8}{8}\sqrt{3}^8.\)

Az így kapott két összeget összeadva:

Így \(\displaystyle a^8+b^8=\frac{3104}{256}=\frac{97}{8}\).

2. Megoldás. A feltételek alapján:

\(\displaystyle 2ab=(a+b)^2-(a^2+b^2)=1^2-2=-1,\)

vagyis \(\displaystyle ab=-\frac12\). Emeljük négyzetre az \(\displaystyle a^2+b^2=2\) egyenletet:

\(\displaystyle (a^2+b^2)^2=4,\)

\(\displaystyle (a^4+b^4)+2a^2b^2=4,\)

amiből \(\displaystyle a^4+b^4=4-2(ab)^2=4-2\cdot \left(-\frac12\right)^2=\frac{7}{2}\). Ismét négyzetre emelve:

\(\displaystyle (a^4+b^4)^2=\left( \frac{7}{2}\right)^2,\)

\(\displaystyle a^8+b^8+2a^4b^4=\frac{49}{4},\)

amiből \(\displaystyle a^8+b^8=\frac{49}{4}-2(ab)^4=\frac{49}{4}-2\left(-\frac12\right)^4=\frac{97}{8}\).

Statistics:

232 students sent a solution.
3 points:	195 students.
2 points:	15 students.
1 point:	7 students.
0 point:	2 students.
Unfair, not evaluated:	12 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2020