Problem B. 5112. (September 2020)

B. 5112. A deck of card consists of \(\displaystyle p\) red cards and \(\displaystyle k\) blue cards. In how many different ways is it possible to select some of the cards so that the number of red cards should be \(\displaystyle n\) more than the number of blue cards?

(4 pont)

Deadline expired on October 12, 2020.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Mivel piros kártyából pontosan \(\displaystyle n\)-nel többet kell kiválasztani, mint kékből, így a nem kiválasztott kék kártyák és a kiválasztott piros kártyák együttes száma éppen \(\displaystyle n\)-nel több, mint a kék kártyák száma, vagyis \(\displaystyle k+n\). (Mindez megfordítva is teljesül persze, ha ez az érték \(\displaystyle k+n\), akkor piros kártyából \(\displaystyle n\)-nel többet választottunk, mint kékből.) Így tehát azt kell megszámolnunk, hogy a kártyák \(\displaystyle p+k\) elemű halmazának hány darab \(\displaystyle k+n\) elemű részhalmaza van. (Egy ilyen \(\displaystyle k+n\) elemű \(\displaystyle H\) részhalmazhoz tartozó kiválasztás úgy adódik, hogy vesszük a \(\displaystyle H\)-beli piros, és a \(\displaystyle H\)-n kívüli kék kártyákat.) Világos, hogy az ilyen részhalmazok száma \(\displaystyle \binom{p+k}{k+n}\). Tehát a kiválasztások száma \(\displaystyle \binom{p+k}{k+n}\) (aminek értéke 0, amennyiben \(\displaystyle p<n\)).

Megjegyzés. Alapvetően hibásak azok a megoldások, amelyekben az azonos színű lapokat a megoldó nem különböztette meg egymástól. A feladat kontextusában ilyen feltételezés azért sem életszerű, mert kártyáknak a színük mellett általában ,,számuk'' (2,3,4, király, dáma, stb. ) is szokott lenni. Vagy: két, külső szemlélő által azonosnak látott ikerpár tagjainak külön én-tudata van, nem alkotnak együtt egyetlen embert. De a legegyszerűbb példaként tekintsünk két 10 forintos érmét, dobjuk fel őket egyszerre. Ha fogadnunk kell arra, hány ,,fej'' lesz a dobás eredménye, érdemes 1-re tippelnünk, hiszen ennek 1/2 a valószínűsége, míg a nulla és a kettő fejnek egyaránt 1/4 - 1/4. Ha a két érmét – helytelenül – nem különböztetnénk meg egymástól, akkor mindhárom eset valószínűsége 1/3 lévén fogadhatnánk akár két fejre is, amivel sok játék után sok pénzt veszíthetünk...

Statistics:

80 students sent a solution.
4 points:	Baski Bence, Bognár 171 András Károly, Bukva Dávid, Fülöp Csilla, Győrffi Ádám György, Hegedűs Dániel, HyunBin Yoo, Jánosik Máté, Kalocsai Zoltán, Kercsó-Molnár Anita, Kovács 129 Tamás, Lovas Márton, Mácsai Dániel, Molnár-Szabó Vilmos, Móra Márton Barnabás, Nádor Benedek, Nagy 429 Leila, Seres-Szabó Márton, Somogyi Dalma, Szakács Ábel, Székely Milán, Sztranyák Gabriella, Tóth 057 Bálint, Török Ágoston, Velich Nóra, Wiener Anna.
3 points:	Bán-Szabó Áron, Ben Gillott, Diaconescu Tashi, Kerekes Boldizsár, Kökényesi Márk Péter, Móricz Benjámin, Németh Márton, Osztényi József.
2 points:	11 students.
1 point:	8 students.
0 point:	24 students.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2020