Problem B. 5118. (October 2020)

B. 5118. Is it possible that \(\displaystyle x\), \(\displaystyle \frac{14x+5}{9}\) and \(\displaystyle \frac{17x-5}{12}\) are all integers?

(3 pont)

Deadline expired on November 10, 2020.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Tegyük fel, hogy \(\displaystyle y:=\frac{14x+5}{9}\) és \(\displaystyle z:=\frac{17x-5}{12}\) egész számok. Ekkor \(\displaystyle 4z-3y\) is egész kell legyen:

\(\displaystyle 4z-3y=\frac{17x-5}{3}-\frac{14x+5}{3}=\frac{3x-10}{3}=x-\frac{10}{3}.\)

Mivel \(\displaystyle \frac{10}{3}\) nem egész, ezért ekkor \(\displaystyle x\) nem lehet egész.

Tehát a három szám nem lehet egyszerre egész.

Statistics:

197 students sent a solution.
3 points:	171 students.
2 points:	11 students.
1 point:	5 students.
0 point:	6 students.
Unfair, not evaluated:	3 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2020