Problem B. 5119. (October 2020)

B. 5119. In an acute-angled triangle \(\displaystyle ABC\), a tangent is drawn to the inscribed circle, parallel to side \(\displaystyle BC\). The tangent intersects side \(\displaystyle AC\) at point \(\displaystyle D\). \(\displaystyle F\) is the orthogonal projection of point \(\displaystyle D\) onto the side \(\displaystyle BC\). Show that \(\displaystyle AB=AD+BF\).

(3 pont)

Deadline expired on November 10, 2020.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Jelölje a beírt kör érintési pontjait a háromszög oldalain \(\displaystyle P\), \(\displaystyle Q\) és \(\displaystyle R\) az ábra szerint, és legyen \(\displaystyle T\) a \(\displaystyle BC\)-vel párhuzamos érintő érintési pontja. Párhuzamos egyenesek érintési pontjai a körben átellenes pontok, tehát \(\displaystyle PT\) a beírt körnek átmérője, amely merőleges a \(\displaystyle CP\) és \(\displaystyle DT\) érintőkre: \(\displaystyle TPC\sphericalangle=DTP\sphericalangle=90^\circ\).

A feltétel szerint az \(\displaystyle F\) pont a \(\displaystyle D\) merőleges vetülete a \(\displaystyle BC\) oldalon, ezért \(\displaystyle BFD\sphericalangle\) is derékszög. A \(\displaystyle DFPT\) négyszögnek az \(\displaystyle F\), \(\displaystyle P\) és \(\displaystyle T\) csúcsoknál is derékszöge van, tehát a \(\displaystyle DFPT\) négyszög téglalap.

A téglalap szemközti oldalai egyenlők, emiatt \(\displaystyle FP=DT\). Továbbá, a körhöz az \(\displaystyle A\), a \(\displaystyle B\), illetve a \(\displaystyle D\) pontból húzott érintő szakaszok egyenlők, így \(\displaystyle AQ=AR\), \(\displaystyle BP=BR\) és \(\displaystyle DQ=DT=FP\). Mindezeket figyelembe véve:

\(\displaystyle AD+BF=(AQ-DQ)+(BP+FP)=(AQ+BP)+(FP-DQ)=(AR+BR)+0=AB. \)

Ezzel igazoltuk, hogy \(\displaystyle AD+BF=AB\).

Statistics:

112 students sent a solution.
3 points:	94 students.
2 points:	10 students.
1 point:	2 students.
0 point:	5 students.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2020