Problem B. 5120. (October 2020)

B. 5120. The positive integers are coloured in the following manner: the colour of \(\displaystyle a+b\) is always uniquely determined by the colours of \(\displaystyle a\) and \(\displaystyle b\); that is, if the colour of \(\displaystyle a\) and \(\displaystyle a'\) is the same, and the colour of \(\displaystyle b\) and \(\displaystyle b'\) is the same, then \(\displaystyle a+b\) and \(\displaystyle a'+b'\) also have the same colour. Prove that if there is a colour that is used more than once then the colouring becomes periodic from some number onwards.

(4 pont)

Deadline expired on November 10, 2020.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Tegyük fel, hogy van olyan szín, amit többször is használtunk: például \(\displaystyle a<a'\) mellett \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle a'\) színe egyforma. Ekkor \(\displaystyle a+1\) és \(\displaystyle a'+1\) szintén egyforma színűek, sőt, indukcióval kapjuk, hogy bármely \(\displaystyle n\geq0\) mellett \(\displaystyle a+n\) és \(\displaystyle a'+n\) is egyforma színűek. Legyen \(\displaystyle d:=a'-a>0\). Megmutatjuk, hogy a színezés \(\displaystyle a\)-tól kezdve periodikus \(\displaystyle d\) periódussal. Ha ugyanis \(\displaystyle a\leq k\) tetszőleges, akkor \(\displaystyle n=k-a\geq 0\) mellett \(\displaystyle a+n=k\), valamint \(\displaystyle a'+n=k+d\). Így az, hogy \(\displaystyle a+n\) és \(\displaystyle a'+n\) azonos színűek, éppen azt jelenti, hogy \(\displaystyle k\) és \(\displaystyle k+d\) színe azonos. Ezzel igazoltuk a feladat állítását.

Statistics:

110 students sent a solution.
4 points:	97 students.
3 points:	5 students.
2 points:	4 students.
0 point:	3 students.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2020