Problem B. 5121. (October 2020)
B. 5121. Solve the following simultaneous equations, where \(\displaystyle x_1, x_2,\ldots,x_n\) are positive real numbers, and \(\displaystyle n\) is a positive integer:
$$\begin{align*} x_1+x_2+\ldots +x_n & =9,\\ \frac1{x_1}+\frac1{x_2}+\ldots +\frac1{x_n} & =1. \end{align*}$$(4 pont)
Deadline expired on November 10, 2020.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. A feltételek alapján az \(\displaystyle x_1,x_2,\dots,x_n\) pozitív számok számtani közepe \(\displaystyle \frac{9}{n}\), harmonikus közepe pedig \(\displaystyle n\). Így a számtani és harmonikus közepek közti ismert egyenlőtlenség szerint
\(\displaystyle n\leq \frac9n,\)
vagyis \(\displaystyle n\leq 3\). Az \(\displaystyle n=1,2,3\) eseteket külön vizsgáljuk.
Ha \(\displaystyle n=1\) lenne, akkor az első egyenletből \(\displaystyle x_1=9\), a másodikból \(\displaystyle x_1=1\) következne, ami ellentmondás. Így \(\displaystyle n\ne 1\).
Ha \(\displaystyle n=2\), akkor a két egyenlet:
\(\displaystyle x_1+x_2=9,\)
\(\displaystyle \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=1.\)
A második egyenletet \(\displaystyle x_1x_2\)-vel szorozva kapjuk, hogy \(\displaystyle x_1+x_2=x_1x_2\), vagyis az első egyenlet alapján \(\displaystyle x_1x_2=9\). Így \(\displaystyle x_1\) és \(\displaystyle x_2\) az \(\displaystyle (x-x_1)(x-x_2)=x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2=x^2-9x+9\) polinom gyökei: \(\displaystyle x_{1,2}=\frac{9\pm\sqrt{9^2-4\cdot 9}}{2}=\frac{9\pm3\sqrt{5}}{2}\). Mindkét gyök pozitív, és ha \(\displaystyle x_1,x_2\) a két gyök, akkor \(\displaystyle x_1+x_2=x_1x_2=9\), amiből \(\displaystyle \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=1\) is következik, vagyis az összes feltétel teljesül. Tehát \(\displaystyle x_1=\frac{9+3\sqrt{5}}{2}, x_2=\frac{9-3\sqrt{5}}{2} \) és \(\displaystyle x_1=\frac{9-3\sqrt{5}}{2}, x_2=\frac{9+3\sqrt{5}}{2} \) a megoldások az \(\displaystyle n=2\) esetben.
Ha \(\displaystyle n=3\), akkor a számtani és a harmonikus közép is 3, azonban a két közép között egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha a számok egyenlők: \(\displaystyle x_1=x_2=x_3\). Ezt egybevetve az első (vagy a második) egyenlettel kapjuk, hogy a közös érték 3, tehát \(\displaystyle x_1=x_2=x_3=3\). Ez valóban megoldást ad.
Összefoglalva tehát, a megoldások:
\(\displaystyle n=2,\ x_1=\frac{9+3\sqrt{5}}{2},\ x_2=\frac{9-3\sqrt{5}}{2}, \)
\(\displaystyle n=2,\ x_1=\frac{9-3\sqrt{5}}{2},\ x_2=\frac{9+3\sqrt{5}}{2}, \)
\(\displaystyle n=3,\ x_1=x_2=x_3=3.\)
Statistics:
134 students sent a solution. 4 points: 95 students. 3 points: 22 students. 2 points: 7 students. 1 point: 6 students. 0 point: 1 student. Unfair, not evaluated: 3 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, October 2020