Problem B. 5122. (October 2020)

B. 5122. ErWin Layup is the best penalty taker of all times in the basketball league of Nowhereland. Although he missed the very first penalty throw of his career, altogether he has only missed 2020 out of his total of \(\displaystyle 222\,222\) throws.

Statisticians in Nowhereland consider a basketball penalty throw interesting if the ratio of successful penalty throws to all penalty throws, calculated immediately after the throw and expressed as a percentage, is a positive integer. (For example, if a player scores 12 out of a total of 40 throws then his last throw is interesting, since \(\displaystyle \frac{12}{40} \cdot 100 = 30 \in \mathbb{N}^+\), while the following throw, which is the 41st, cannot be interesting, whether successful or not.)

What is the minimum number of interesting penalty throws that ErWin Layup may have had?

(5 pont)

Deadline expired on November 10, 2020.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A válasz 8. Ennek igazolásához megmutatjuk, hogy Zicc ErWinnek legalább 8 érdekes büntetője volt, és mutatunk is olyan dobássorrendet, hogy pontosan 8 érdekes büntető legyen.

Lemma: A feltételek mellett minden \(\displaystyle 1<n\leq 100\) egész számra volt olyan dobása ErWinnek, amikor éppen \(\displaystyle \dfrac{n-1}{n}\) volt a sikeres dobások aránya.

A lemma bizonyítása: Legyen \(\displaystyle 1<n \leq 100\) tetszőleges. Tekintsük az \(\displaystyle 1 \cdot n; 2 \cdot n ; 3 \cdot n;...; \left[ \dfrac{222222}{n}\right] \cdot n\)-dik dobásokat (,,időpontokat'').

A \(\displaystyle \left[ \dfrac{222222}{n}\right] \cdot n\) dobás után már biztosan nagyobb a sikeres kosarak aránya, mint \(\displaystyle \dfrac{n-1}{n}\), különben a kihagyott büntetők száma legalább \(\displaystyle \dfrac{222222-n}{n} \geq \dfrac{222122}{100}>2221>2020\) lenne, ellentmondva a feladat feltételeinek.

Ha az \(\displaystyle n\)-dik dobásig a kihagyott első kosarat kivéve minden büntetőt bedobott ErWin, akkor készen vagyunk; az \(\displaystyle n\)-dik dobás megfelelő.

Ha viszont az első \(\displaystyle n\) dobásából legalább kettőt elhibázott, akkor a megadott időpontok között van olyan, ahol az arány kisebb, mint \(\displaystyle \dfrac{n-1}{n}\) (jelesül az elején), és van olyan időpont, ahol az arány legalább \(\displaystyle \dfrac{n-1}{n}\) (jelesül a végén). Azaz van egy olyan utolsó időpont is, mondjuk \(\displaystyle i\cdot n\), ahol a sikeres arány még kisebb, mint \(\displaystyle \dfrac{n-1}{n}\).

Ekkor – mivel \(\displaystyle (i+1) \cdot n\) időpontban már legalább \(\displaystyle \dfrac{n-1}{n}\) a sikeres büntetők aránya – az \(\displaystyle (i \cdot n+1)\)-edik és \(\displaystyle ((i+1) \cdot n)\)-edik dobások közötti mind az \(\displaystyle n\) dobás sikeres kell, hogy legyen; emiatt az \(\displaystyle i \cdot n\) időpontban pontosan 1 sikeres dobás hiányzott az \(\displaystyle \dfrac{n-1}{n}\)-es arányhoz, és így az \(\displaystyle (i+1) \cdot n\) időpontban a sikeres büntetők aránya pontosan \(\displaystyle \dfrac{n-1}{n}\). Ezzel a lemmát igazoltuk.

Lemmánk alapján volt olyan időpont ErWin karrierje során, amikor a sikeres dobások aránya
\(\displaystyle \boxed{\: \dfrac{1}{2}=50\%; \dfrac{3}{4}=75\%; \dfrac{4}{5}=80\%; \dfrac{9}{10}=90\%; \dfrac{19}{20}=95\%; \dfrac{24}{25}=96\%; \dfrac{49}{50}=98\%; \dfrac{99}{100}=99\% \:}\)

Azaz valóban volt legalább 8 darab érdekes büntetője ErWinnek. (A többi \(\displaystyle \dfrac{n-1}{n}\) tört nem ad százalékban egész értéket; mivel ezekre \(\displaystyle n \nmid 100\).)

Most megmutatjuk, hogy előfordulhatott, hogy nem volt több, mint 8 érdekes büntető. Ehhez az a ,,dobássorrend'' megfelelő, amikor ErWin sikertelen dobásai: az első, és karrierje során az utolsó 2019. (Vagyis a \(\displaystyle 2\)-diktól a \(\displaystyle 222\,222-2019=220\,203\)-dik dobásig mindent bedobott).

Ekkor a első száz dobásából pontosan a \(\displaystyle 2.;4.;5.;10.,...;100.\) az érdekes, innentől viszont az egész karrierje során 99%-nál nagyobb a sikeres dobások aránya, azaz a többi dobás már nem érdekes.

Ezzel a feladatot megoldottuk.

Statistics:

72 students sent a solution.
5 points:	Argay Zsolt, Baski Bence, Beinschroth Ninett, Bencsik Ádám, Budai Csanád, Dezső Kende Barnabás, Duchon Márton, Farkas 512 Izabella, Fekete Richárd, Kovács 129 Tamás, Lovas Márton, Móra Márton Barnabás, Móricz Benjámin, Nádor Benedek, Nagy 551 Levente, Rareș Polenciuc, Szakács Ábel, Szanyi Attila, Török Ágoston.
4 points:	Bognár 171 András Károly, Király Csaba Regő, Nguyen Bich Diep, Sógor Bence, Sztranyák Gabriella, Terjék András József, Tot Bagi Márton.
3 points:	1 student.
2 points:	4 students.
1 point:	29 students.
0 point:	12 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2020