Problem B. 5123. (October 2020)
B. 5123. Ann and Barbara divided between themselves the 81 cards of the game of SET. Ann received 40 cards and Barbara received 41. Each girl counted the number of ways they can form a SET of three cards out of the cards held by her. What may be the sum of the numbers they obtained?
(6 pont)
Deadline expired on November 10, 2020.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
1. megoldás. A feladat szövegében linkelt cikkből is kiderül, hogy a 81 lapból összesen \(\displaystyle \frac{\binom{81}{2}}{3} = 1080\) db SET alkotható. Ezek egy része a szétosztásnál egyben marad (azaz vagy mindhárom lap Andihoz, vagy mindhárom lap Borihoz kerül) – ezek számára vonatkozik a feladat kérdése. A többi SET szétszakad, azaz a SET-et alkotó három lap közül legalább egy Andinál és legalább egy Borinál van.
Számoljuk meg a szétszakadt SET-eket.
Azt állítjuk, hogy a szétszakadt SET-ek száma \(\displaystyle \frac{40 \cdot 41}2 = 820\), függetlenül attól, hogy melyik 40 kártyát kapta Andi. Válasszunk ugyanis egy-egy tetszőleges lapot Andi és Bori kezéből, ezt \(\displaystyle 40 \cdot 41\)-féleképpen tehetjük meg. Erre a két lapra pontosan egy szétszakadt SET illeszkedik. Minden szétszakadt SET-et pontosan kétszer találtunk meg (hiszen az egyik lánynál két lap van ebből a SET-ből, és bármelyiket választhatjuk az ő kezéből).
Így az egyben maradó SET-ek száma: 1080-820 = 260.
2. megoldás. Képzeljük úgy, hogy kezdetben Borinál volt az összes kártya, majd sorban egyesével adott ezek közül 40-et Andinak.
Azt állítjuk, hogy amikor az \(\displaystyle n\)-edik kártyát (\(\displaystyle 1 \leq n \leq 40\)) adja át Bori Andinak, akkor azon SET-ek száma, amelyek mindhárom lapja ugyanazon kézben van, pontosan \(\displaystyle (41-n)\)-nel csökken (függetlenül attól, hogy melyik lapot adja Bori Andinak).
Ehhez azt a tényt (ld. linkelt cikk 3. pont) kell felhasználnunk, hogy ha egy lapot kiveszünk a pakliból, a maradék 80 lap párokba rendezhető úgy, hogy a kivett lap éppen egy-egy ilyen párral együtt alkot SET-et (más SET-ben pedig nincsen benne).
Amikor egy kártyát átad Bori Andinak, az ehhez a kártyához tartozó párok közül néhány pár már egészen Andinál van (ezekből egy-egy új, egy kézben levő SET keletkezik), néhány pár pedig még egészen Borinál maradt (ezeknél elveszik egy-egy eddig meglevő egy kézben levő SET); míg a többi pár két tagja külön kézben van, ezek nem befolyásolják a SET-ek számának változását.
Most tekintsük az \(\displaystyle n\)-edik kártya átadásának pillanatát és az ehhez a kártyához tarozó párokat. Ha ekkor \(\displaystyle a_n\) olyan pár van, amely már teljesen Andinál van, akkor ezek összesen \(\displaystyle 2a_n\) helyet foglalnak el Andi kezében. Tehát \(\displaystyle n-1-2a_n\) olyan kártya van Andi kezében, amelynek a párja Borinál van. Bori kezében marad \(\displaystyle 81-n\) lap, ezek közül tehát \(\displaystyle n-1-2a_n\) darabnak Andinál van a párja, így a maradék \(\displaystyle (81-n)-(n-1-2a_n) = 82+2a_n-2n\) darab kártya összesen \(\displaystyle b_n=41+a_n-n\) olyan párt fog alkotni, amelyek teljesen Borinál maradtak. Így az egy kézben levő SET-ek száma valóban
\(\displaystyle b_n-a_n = (41+a_n-n) - a_n = 41-n \)
darabbal csökken.
Így, mivel kezdetben mind az 1080 db SET Bori kezében volt, a 40. lap átadása után az egy kézben levő SET-ek száma:
\(\displaystyle 1080 - (40 + 39 + \dots + 1) = 1080 - \frac{40 \cdot 41}2. \)
Statistics:
74 students sent a solution. 6 points: 58 students. 5 points: 8 students. 4 points: 2 students. 3 points: 2 students. 0 point: 2 students. Unfair, not evaluated: 2 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, October 2020