Problem B. 5125. (October 2020)

B. 5125. The centre of the circumscribed circle of a cyclic quadrilateral \(\displaystyle ABCD\) is \(\displaystyle O\). The rays \(\displaystyle AB\) and \(\displaystyle DC\) intersect at point \(\displaystyle E\). In the circle \(\displaystyle BCE\), the point diametrically opposite to \(\displaystyle E\) is \(\displaystyle F\). Show that the lines \(\displaystyle AC\), \(\displaystyle BD\) and \(\displaystyle OF\) are concurrent.

(6 pont)

Deadline expired on November 10, 2020.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Használjuk az ábra jelöléseit, legyen az \(\displaystyle ABCD\) körben az \(\displaystyle A\)-val átellenes pont \(\displaystyle G\), a \(\displaystyle D\)-vel átellenes pont \(\displaystyle H\), az \(\displaystyle AC\) és \(\displaystyle BD\) átlók metszéspontja pedig \(\displaystyle M\).

Az \(\displaystyle ABCD\) körben felírt Thalész-tétel miatt \(\displaystyle BG\) merőleges az \(\displaystyle AB\) egyenesre, valamint a \(\displaystyle BCE\) körben felírt Thalész-tétel miatt \(\displaystyle BF\) merőleges a \(\displaystyle BE\) egyenesre. Mivel az \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle E\) pontok kollineárisak, így a \(\displaystyle B\), \(\displaystyle F\) és \(\displaystyle G\) pontok is. Hasonlóan látható a \(\displaystyle C\), \(\displaystyle F\) és \(\displaystyle H\) pontok kollinearitása. Az eddigiekből következik, hogy a \(\displaystyle BG\) és \(\displaystyle CH\) egyenesek az \(\displaystyle F\) pontban metszik egymást.

Írjuk fel az \(\displaystyle ABC\) körbe írt \(\displaystyle BGACHD\) hatszögre a Pascal-tételt. A tétel szerint a \(\displaystyle BG\cap CH=F\), \(\displaystyle GA\cap HD=O\) és \(\displaystyle AC\cap BD=M\) pontok egy egyenesre illeszkednek, amiből az állítás azonnal következik.

A feladat szövege szerint a megoldás során használt pontok mindig létrejönnek. Ezzel a bizonyítást befejeztük.

Statistics:

37 students sent a solution.
6 points:	Arató Zita, Bán-Szabó Áron, Baski Bence, Bencsik Ádám, Diaconescu Tashi, Fekete Richárd, Hegedűs Dániel, Kalocsai Zoltán, Kercsó-Molnár Anita, Kerekes Boldizsár, Koleszár Domonkos, Kovács 129 Tamás, Lengyel Ádám, Lovas Márton, Mácsai Dániel, Mohay Lili Veronika, Molnár-Szabó Vilmos, Nádor Benedek, Nagy 551 Levente, Nguyen Bich Diep, Osztényi József, Rareș Polenciuc, Seres-Szabó Márton, Somogyi Dalma, Sztranyák Gabriella, Török Ágoston, Wiener Anna.
5 points:	Balogh Ádám Péter.
4 points:	1 student.
3 points:	1 student.
2 points:	3 students.
1 point:	1 student.
0 point:	3 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2020