Problem B. 5126. (November 2020)

B. 5126. Prove that if \(\displaystyle n\ge 3\), then there exist \(\displaystyle n\) distinct positive integers such that the sum of their reciprocals is 1.

(3 pont)

Deadline expired on December 10, 2020.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

I. Megoldás. Az \(\displaystyle 1=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\dots+\frac{1}{2^{n-3}}+\frac{1}{2^{n-2}}+\frac{1}{2^{n-2}}\) előállítás egy olyan \(\displaystyle n-1\) tagú összeg, amiben az utolsó két tag egyezik, ettől eltekintve viszont a tagok különbözők. Az \(\displaystyle \frac12=\frac13+\frac16\) egyenlőség alapján \(\displaystyle \frac{1}{2^{n-2}}=\frac{1}{3\cdot 2^{n-3}}+\frac{1}{6\cdot 2^{n-3}}\), vagyis

\(\displaystyle 1=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\dots+\frac{1}{2^{n-3}}+\frac{1}{2^{n-2}}+\frac{1}{3\cdot 2^{n-3}}+\frac{1}{6\cdot 2^{n-3}}.\)

Tehát a \(\displaystyle 2,2^2,\dots,2^{n-2},3\cdot 2^{n-3}, 6\cdot 2^{n-3}\) különböző pozitív egész számok (összesen \(\displaystyle n\) darab) reciprokának összege 1, ezzel igazoltuk a feladat állítását.

II. Megoldás. Az állítást \(\displaystyle n\)-re vonatkozó indukcióval igazoljuk. Ha \(\displaystyle n=3\), akkor az \(\displaystyle 1=\frac12+\frac13+\frac16\) előállítás megfelelő. Tegyük fel, hogy \(\displaystyle n=k\)-ra már igazoltuk az állítást, megmutatjuk, hogy \(\displaystyle n=k+1\)-re is teljesül. Az indukciós feltevés alapján vannak \(\displaystyle a_1<a_2<\dots<a_k\) pozitív egész számok úgy, hogy \(\displaystyle 1=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\dots+\frac{1}{a_k}\). Felhasználva, hogy \(\displaystyle \frac{1}{a_k}=\frac{1}{a_k+1}+\frac{1}{a_k(a_k+1)}\) kapjuk a következő előállítást:

\(\displaystyle 1=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\dots+\frac{1}{a_{k-1}}+\frac{1}{a_k+1}+\frac{1}{a_k(a_k+1)},\)

ahol a nevezőben szereplő pozitív egészek páronként különbözők, hiszen \(\displaystyle a_1<a_2<\dots<a_{k-1}<a_k<a_k+1<a_k(a_k+1)\). Tehát van megfelelő előállítás \(\displaystyle n=k+1\)-re is, innen az állítás indukcióval következik.

Statistics:

147 students sent a solution.
3 points:	118 students.
2 points:	16 students.
1 point:	9 students.
0 point:	1 student.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2020