Problem B. 5128. (November 2020)

B. 5128. Find all pairs of relatively prime integers \(\displaystyle (x,y)\) such that \(\displaystyle x^2 + x = y^3 + y^2\).

Proposed by L. Surányi, Budapest

(4 pont)

Deadline expired on December 10, 2020.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az egyenlet \(\displaystyle x(x+1)=y^2(y+1)\) alakban is írható, amiből leolvasható, hogy \(\displaystyle y^2\mid x(x+1)\). Mivel \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) relatív prímek, ezért ebből \(\displaystyle y^2\mid x+1\) is következik. Legyen \(\displaystyle k\) az az egész szám, amire \(\displaystyle x+1=ky^2\). Az egyenletbe ezt behelyettesítve:

\(\displaystyle (ky^2-1)ky^2=y^2(y+1).\)

Ha \(\displaystyle y=0\), akkor az egyenlet teljesül, ekkor \(\displaystyle x=ky^2-1=-1\), ami relatív prím a 0-hoz, így a \(\displaystyle (-1,0)\) pár megoldás. A továbbiakban feltesszük, hogy \(\displaystyle y\ne 0\), ekkor ekvivalens lépés az \(\displaystyle y^2\)-tel való osztás:

\(\displaystyle (ky^2-1)k=y+1,\)

\(\displaystyle k^2y^2=k+y+1.\)

Ha \(\displaystyle k=0\), akkor \(\displaystyle y=-1\) kell legyen, ekkor \(\displaystyle x=ky^2-1=-1\), a relatív prímségi feltétel teljesül, a \(\displaystyle (-1,-1)\) megoldást kapjuk. A továbbiakban feltesszük, hogy \(\displaystyle k\ne 0\), ekkor ekvivalens lépés a \(\displaystyle k^2y^2\)-tel való osztás:

\(\displaystyle 1=\frac{1}{ky^2}+\frac{1}{k^2y}+\frac{1}{k^2y^2}.\)

Ha \(\displaystyle |ky|\geq 3\), akkor \(\displaystyle \frac{1}{ky^2}+\frac{1}{k^2y}+\frac{1}{k^2y^2}\leq \frac13+\frac13+\frac19<1\), így az egyenlet nem teljesülhet. Tehát \(\displaystyle ky\ne 0\) miatt \(\displaystyle |ky|\) értéke csak 1 vagy 2 lehet, ezt a két esetet külön megvizsgáljuk.

Ha \(\displaystyle |ky|=1\), akkor visszatérve a \(\displaystyle k^2y^2=k+y+1\) alakhoz látható, hogy az egyenlet pontosan akkor teljesül, ha \(\displaystyle k+y=0\). Tehát vagy \(\displaystyle k=1,y=-1\) vagy \(\displaystyle k=-1,y=1\). Ezekből rendre az \(\displaystyle (x,y)=(0,-1)\), illetve \(\displaystyle (x,y)=(-2,1)\) megoldásokat kapjuk. (A relatív prímségi feltétel is teljesül mindkét esetben.)

Végül, ha \(\displaystyle |ky|=2\), akkor a \(\displaystyle k^2y^2=k+y+1\) alakból \(\displaystyle 3=k+y\) egyenlet adódik, vagyis vagy \(\displaystyle k=1,y=2\) vagy \(\displaystyle k=2,y=1\). Ezekből rendre az \(\displaystyle (x,y)=(3,2)\), illetve \(\displaystyle (x,y)=(1,1)\) megoldásokat kapjuk. (A relatív prímségi feltétel is teljesül mindkét esetben.)

Az egyenletnek tehát hat megoldása van, éspedig a következők:

\(\displaystyle (-1,0); (-1,-1); (0,-1); (-2,1); (3,2); (1,1).\)

Statistics:

112 students sent a solution.
4 points:	Arató Zita, Argay Zsolt, Bán-Szabó Áron, Bencsik Ádám, Bencsik Dávid, Bognár 171 András Károly, Diaconescu Tashi, Duchon Márton, Farkas 512 Izabella, Fekete Richárd, Fülöp Csilla, Győrffi Ádám György, Hegedűs Dániel, Jánosik Máté, Kerekes Boldizsár, Koleszár Domonkos, Kovács 129 Tamás, Lengyel Ádám, Mácsai Dániel, Molnár-Szabó Vilmos, Móricz Benjámin, Nádor Benedek, Nagy 551 Levente, Páhán Anita Dalma, Révész Máté, Seres-Szabó Márton, Somogyi Dalma, Szanyi Attila, Székely Milán, Szemlér Bálint, Sztranyák Gabriella, Terjék András József, Tóth 057 Bálint, Török Ágoston, Váczy Dorottya, Varga Boldizsár, Velich Nóra.
3 points:	26 students.
2 points:	20 students.
1 point:	20 students.
0 point:	7 students.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2020