Problem B. 5129. (November 2020)

B. 5129. Two players are taking turns in selecting one of the coefficients \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) and \(\displaystyle c\) of the polynomial \(\displaystyle x^3+ax^2+bx+c\), and giving it some integer value of their choice. Prove that the starting player can achieve that (after the three steps) all three roots of the polynomial should be integers (i.e. that the polynomial can be expressed as a product of three polynomials of integer coefficients).

(3 pont)

Deadline expired on December 10, 2020.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

I. megoldás. A kezdő első lépése legyen \(\displaystyle c:=0\). Így a polinom \(\displaystyle x^3+ax^2+bx=x(x^2+ax+b)\) alakú lesz, az egyik gyök már biztosan egész (\(\displaystyle 0\)).

Ha a második játékos ezután \(\displaystyle a\) értékét választja meg, akkor kezdő lépése legyen \(\displaystyle b:=0\), a kapott polinom \(\displaystyle x^3+ax^2=x^2(x+a)\) alakú, aminek mindhárom gyöke egész (0, 0 és \(\displaystyle -a\)).

Ha pedig a második játékos \(\displaystyle b\) értékét választja meg, akkor kezdő lépése legyen \(\displaystyle a:=-b-1\), így a kapott polinom \(\displaystyle x^3-(b+1)x^2+bx=x(x-1)(x-b)\), aminek szintén mindhárom gyöke egész (0, 1 és \(\displaystyle b\)).

Ezzel igazoltuk a feladat állítását.

II. megoldás. Kezdő első lépése legyen \(\displaystyle b:=-1\). Miután második megválasztja \(\displaystyle a\) vagy \(\displaystyle c\) értékét, kezdő a másikat válassza ennek ellentettjének, vagyis úgy, hogy \(\displaystyle a+c=0\) teljesüljön. Ekkor a kapott polinom \(\displaystyle x^3+ax^2-x-a=(x^2-1)(x+a)=(x+1)(x-1)(x+a)\), aminek a gyökei valóban egészek (\(\displaystyle -1\), 1 és \(\displaystyle -a\)).

Statistics:

101 students sent a solution.
3 points:	80 students.
2 points:	13 students.
1 point:	3 students.
0 point:	4 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2020