Problem B. 5130. (November 2020)

B. 5130. There are \(\displaystyle n\) points in the plane. We know that for any \(\displaystyle k\) points (\(\displaystyle k\ge 2\)), it is possible to select two of them with distance at most 1. Show that the points can be covered with \(\displaystyle k-1\) disks of unit radius.

(5 pont)

Deadline expired on December 10, 2020.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Válasszunk ki egy tetszőleges \(\displaystyle P_1\) pontot a megadottak közül, és legyen ő a \(\displaystyle K_1\) egységkör középpontja. Hasonlóan, egy \(\displaystyle K_1\)-en kívül eső \(\displaystyle P_2\) pont legyen a \(\displaystyle K_2\) egységkör középpontja, egy \(\displaystyle K_1\)-en és \(\displaystyle K_2\) is kívül eső \(\displaystyle P_3\) pont a \(\displaystyle K_3\) egységkör középpontja, és így tovább. Az így adódó \(\displaystyle K_1\), \(\displaystyle K_2\), \(\displaystyle K_3\), \(\displaystyle \ldots\), \(\displaystyle K_{\ell}\) egységkörök (\(\displaystyle \ell \leqslant n\)) nyilván lefedik a megadott pontokat. Másrészt \(\displaystyle \ell \leqslant k-1\), hiszen \(\displaystyle \ell \geqslant k\) esetén a \(\displaystyle P_1\), \(\displaystyle P_2\), \(\displaystyle \ldots\), \(\displaystyle P_k\) pontok olyan \(\displaystyle k\)-ast alkotnának a megadott \(\displaystyle n\) pontból, amelyekben bármely kettőnek a távolsága 1-nél nagyobb, így nem teljesülne a feladat feltétele.

Statistics:

79 students sent a solution.
5 points:	61 students.
4 points:	4 students.
3 points:	2 students.
0 point:	12 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2020