Problem B. 5134. (December 2020)

B. 5134. Find all integers \(\displaystyle n\) for which the number \(\displaystyle \sqrt{\lfrac{3n-5}{n+1}}\) is also an integer.

Proposed by M. Szalai, Szeged

(3 pont)

Deadline expired on January 11, 2021.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A kifejezés pontosan akkor egész, ha a \(\displaystyle \frac{3n-5}{n+1}\) tört egy egész szám négyzete. Először vizsgáljuk meg, mikor lesz a tört értéke egész. Mivel \(\displaystyle \frac{3n-5}{n+1}=3-\frac{8}{n+1}\), ezért a tört értéke pontosan akkor egész, ha \(\displaystyle n+1\mid 8\), vagyis, ha \(\displaystyle n+1\in\{-8,-4,-2,-1,1,2,4,8\}\). Ezekben az esetekben a tört értéke rendre:

\(\displaystyle 3-(-1)=4,\ 3-(-2)=5,\ 3-(-4)=7,\ 3-(-8)=11,\ 3-8=-5,\ 3-4=-1,\ 3-2=1,\ 3-1=2.\)

Ezek közül az első és a hetedik esetben lesz a kifejezés egy egész szám négyzete. Ekkor \(\displaystyle n\) értéke \(\displaystyle -9\), illetve 3. (A \(\displaystyle \sqrt{\dfrac{3n-5}{n+1}}\) kifejezés értéke pedig rendre 2, illetve 1.)

Tehát a kifejezés értéke \(\displaystyle n=-9\) és \(\displaystyle n=3\) esetén lesz egész.

Statistics:

164 students sent a solution.
3 points:	117 students.
2 points:	23 students.
1 point:	15 students.
0 point:	5 students.
Unfair, not evaluated:	3 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2020