Problem B. 5136. (December 2020)
B. 5136. The population of an island consists of underdogs and overlords. When a stranger visited the island, he was invited for dinner with a company of inhabitants. At the end, he asked each member of the company how many overlords were present. The underdogs all gave figures less than the true value and the overlords all gave figures larger than the true value. Is it true that the number of overlords can always be determined from the answers?
Based on a problem of the Dürer Competition
(5 pont)
Deadline expired on January 11, 2021.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Megmutatjuk, hogy igen, a válaszok ismeretében egyértelműen meghatározható a nagyotmondók száma.
Ehhez azt kell igazolnunk, hogy nem létezhet válaszok olyan sorozata, mely \(\displaystyle k\) és \(\displaystyle \ell\) nagyotmondó esetén is előfordulhat valamely \(\displaystyle k<\ell\) mellett. Ha a nagyotmondók száma \(\displaystyle \ell\), akkor ők a feltétel alapján \(\displaystyle \ell\)-nél nagyobb számot mondanak, vagyis
| \(\displaystyle \text{a mondott számok között lesz legalább \(\displaystyle \ell\) darab \(\displaystyle \ell\)-nél nagyobb.} \) | \(\displaystyle {(*)}\) |
Ha viszont a nagyotmondók száma \(\displaystyle k\), akkor \(\displaystyle k\) kivétellel mindenki (nevezetesen a kishitűek) \(\displaystyle k\)-nál kisebb számot mondanak. Így \(\displaystyle k\)-nál nagyobb számot csak \(\displaystyle k\) ember mondhat, vagyis
| \(\displaystyle \text{a válaszok között \(\displaystyle \ell\)-nél nagyobb értékből is csak legfeljebb \(\displaystyle k\) lehet.} \) | \(\displaystyle {(**)}\) |
Mivel \(\displaystyle k<\ell\), ezért olyan válaszsorozat, amelyre \(\displaystyle (*)\) és \(\displaystyle (**)\) is teljesül, nem létezik. Ez azt jelenti, hogy a válaszokból mindig meghatározható a nagyotmondók száma.
(Nevezetesen, a nagyotmondók száma az a \(\displaystyle k\) érték, amelyre igaz, hogy \(\displaystyle k\)-nál nagyobb válaszból pontosan \(\displaystyle k\) darab volt.)
Statistics:
139 students sent a solution. 5 points: 82 students. 4 points: 33 students. 3 points: 6 students. 2 points: 4 students. 1 point: 3 students. 0 point: 8 students. Unfair, not evaluated: 2 solutionss. Not shown because of missing birth date or parental permission: 1 solutions.
Problems in Mathematics of KöMaL, December 2020