Problem B. 5137. (December 2020)

B. 5137. Solve the following simultaneous equations over the set of real numbers:

Proposed by S. Róka, Nyíregyháza

(4 pont)

Deadline expired on January 11, 2021.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az első és a harmadik egyenlet szorzatából a második négyzetét levonva a jobb oldalon 0-t kapunk:

\(\displaystyle (x+y^2)(x^3+y^4)-(x^2+y^3)^2=z^3z^5-(z^4)^2,\)

\(\displaystyle xy^4+y^2x^3-2x^2y^3=0.\)

A bal oldalon \(\displaystyle xy^2\)-et kiemelve és teljes négyzetté alakítva a másik tényezőt:

\(\displaystyle xy^2(y^2+x^2-2xy)=0,\)

\(\displaystyle xy^2(x-y)^2=0.\)

Tehát \(\displaystyle x=0\) vagy \(\displaystyle y=0\) vagy \(\displaystyle x=y\). A három esetet külön-külön megvizsgáljuk.

1. eset: \(\displaystyle x=0\).
Ekkor a három egyenlet:

\(\displaystyle y^2=z^3,\)

\(\displaystyle y^3=z^4,\)

\(\displaystyle y^4=z^5.\)

Az első egyenlet négyzetéből a harmadikat levonva:

\(\displaystyle (y^2)^2-y^4=(z^3)^2-z^5,\)

\(\displaystyle 0=z^5(z-1).\)

Így \(\displaystyle z=0\) vagy \(\displaystyle z=1\).

Ha \(\displaystyle z=0\), akkor (például) az első egyenletből \(\displaystyle y=0\), könnyen ellenőrizhető, hogy \(\displaystyle (x,y,z)=(0,0,0)\) valóban megoldás.

Ha \(\displaystyle z=1\), akkor a második egyenletből \(\displaystyle y=1\), és szintén könnyen ellenőrizhető, hogy \(\displaystyle (x,y,z)=(0,1,1)\) is megoldás.

2. eset: \(\displaystyle y=0\).
Ekkor a három egyenlet:

\(\displaystyle x=z^3,\)

\(\displaystyle x^2=z^4,\)

\(\displaystyle x^3=z^5.\)

Az első egyenlet négyzetéből a másodikat levonva:

\(\displaystyle x^2-x^2=z^6-z^4,\)

\(\displaystyle 0=z^4(z^2-1).\)

Tehát \(\displaystyle z=0\) vagy \(\displaystyle z=\pm1\). Ha \(\displaystyle z=0\), akkor ismét a \(\displaystyle (0,0,0)\) megoldást kapjuk (amit korábban is megkaptunk már). Ha \(\displaystyle z=1\), akkor az első egyenletből \(\displaystyle x=1\), és az \(\displaystyle (1,0,1)\) valóban megoldás. Végül, ha \(\displaystyle z=-1\), akkor az első egyenletből \(\displaystyle x=-1\), és a \(\displaystyle (-1,0,-1)\) szintén megoldás.

3. eset: \(\displaystyle x=y\).
Ekkor a három egyenlet:

\(\displaystyle x+x^2=z^3,\)

\(\displaystyle x^2+x^3=z^4,\)

\(\displaystyle x^3+x^4=z^5.\)

Az első egyenlet \(\displaystyle x\)-szereséből a másodikat levonva:

\(\displaystyle 0=z^3x-z^4\)

\(\displaystyle 0=z^3(z-x)\)

Tehát \(\displaystyle z=0\) vagy \(\displaystyle z=x\). Ha \(\displaystyle z=0\), akkor az első egyenlet szerint \(\displaystyle x+x^2=0\), vagyis \(\displaystyle x=0\) vagy \(\displaystyle x=-1\). Ellenőrzés alapján \(\displaystyle (0,0,0)\) és \(\displaystyle (-1,-1,0)\) valóban megoldások. (Ezek közül \(\displaystyle (0,0,0)\)-t már korábban is megkaptuk.)

Ha \(\displaystyle z=x\), akkor az első egyenlet \(\displaystyle x+x^2=x^3\) alakban írható, a második egyenlet ennek \(\displaystyle x\)-szerese, a harmadik pedig \(\displaystyle x^2\)-szerese, így elég azt vizsgálni, az első mikor teljesül. Ha \(\displaystyle x=0\), akkor igen, ebből ismét megkapjuk a \(\displaystyle (0,0,0)\) megoldást. Végül, ha \(\displaystyle x\ne 0\), akkor az \(\displaystyle 1+x=x^2\) másodfokú egyenletet megoldva kapjuk az \(\displaystyle x=y=z=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\) és az \(\displaystyle x=y=z=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\) megoldásokat.

Tehát az egyenletrendszernek hét megoldása van, éspedig:

\(\displaystyle (0,0,0)\), \(\displaystyle (0,1,1)\), \(\displaystyle (1,0,1)\), \(\displaystyle (-1,0,-1)\), \(\displaystyle (-1,-1,0)\), \(\displaystyle \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2},\frac{1+\sqrt{5}}{2},\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)\), \(\displaystyle \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2},\frac{1-\sqrt{5}}{2},\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)\).

Statistics:

109 students sent a solution.
4 points:	63 students.
3 points:	20 students.
2 points:	13 students.
1 point:	8 students.
0 point:	4 students.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2020