Problem B. 5142. (January 2021)

B. 5142. In a football championship, there are four teams in a group. Within the group, each team plays every other team once. The teams receive 3 points for winning, 1 point for a draw and 0 points for losing a game. The two teams scoring the highest qualify for the semi-finals, and the other two teams are eliminated. In the case of equal scores, the qualification is decided by chance. Determine those values of the number \(\displaystyle p\) for which it may happen that a qualifying team and an eliminated team both have \(\displaystyle p\) points.

(3 pont)

Deadline expired on February 15, 2021.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Azt fogjuk belátni, hogy ezek az értékek \(\displaystyle p=2,3,4,5,6\).

Először belátjuk, hogy \(\displaystyle p\) értéke nem lehet legalább 7. Ha egy csapat legalább 7 pontot szerez, akkor vagy mindhárom meccsét megnyerte, vagy kétszer győzött és egy döntetlent játszott. Mindenképpen legyőzött tehát két másik csapatot is, akik így nem szerezhetnek 6 pontnál többet, vagyis mindenképpen kevesebb pontot szereznek nála. Tehát egy legalább 7 pontot szerző csapat mindenképpen továbbjut, így valóban \(\displaystyle p\leq 6\).

Most megmutatjuk, hogy \(\displaystyle p\) értéke nem lehet legfeljebb 1. Ha egy csapat legfeljebb 1 pontot szerez, akkor vagy mindháromszor kikapott, vagy kétszer kikapott és egyszer döntetlent játszott. Mindenképpen van tehát két olyan csapat is, aki legyőzte, ezek a csapatok legalább 3-3 pontot szereztek, vagyis mindenképpen megelőzik őt. Tehát egy legfeljebb 1 pontot szerző csapat mindenképpen kiesik, így valóban \(\displaystyle p\geq 2\).

Végül mutatunk példát arra, hogy a fennmaradó értékek (2, 3, 4, 5, 6) mind lehetségesek.

• \(\displaystyle p=2\): ha az egyik csapat mindhárom meccsét megnyeri, a többi mérkőzés eredménye pedig döntetlen, akkor a pontszámok: \(\displaystyle 9,2,2,2\), vagyis a 2 pontos csapatok között lesz továbbjutó és kieső is.
• \(\displaystyle p=3\): ha az egyik csapat mindhárom meccsét megnyeri, a másik három csapat pedig körbeveri egymást, akkor a pontszámok: \(\displaystyle 9,3,3,3\), vagyis a 3 pontos csapatok között lesz továbbjutó és kieső is.
• \(\displaystyle p=4\): ha az egyik csapat mindenkivel döntetlent játszik, a másik három csapat pedig körbeveri egymást, akkor a pontszámok: \(\displaystyle 4,4,4,3\), vagyis a 4 pontos csapatok között lesz továbbjutó és kieső is.
• \(\displaystyle p=5\): ha az egyik csapat mindenkitől kikap, a többi eredmény pedig döntetlen, akkor a pontszámok: \(\displaystyle 5,5,5,0\), vagyis az 5 pontos csapatok között lesz továbbjutó és kieső is.
• \(\displaystyle p=6\): ha az egyik csapat mindenkitől kikap, a másik három csapat pedig körbeveri egymást, akkor a pontszámok: \(\displaystyle 6,6,6,0\), vagyis a 6 pontos csapatok között lesz továbbjutó és kieső is.

Ezzel megmutattuk, hogy a lehetséges \(\displaystyle p\) értékek: 2, 3, 4, 5 és 6.

Statistics:

123 students sent a solution.
3 points:	99 students.
2 points:	9 students.
1 point:	14 students.
0 point:	1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2021