Problem B. 5143. (January 2021)

B. 5143. Find the real solutions of the equation \(\displaystyle 16x^2+9x+117=24x\sqrt{x+13}\,\).

Proposed by S. Róka, Nyíregyháza

(4 pont)

Deadline expired on February 15, 2021.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Rendezzük az egyenletet úgy, hogy a jobb oldalon \(\displaystyle 0\) álljon és emeljünk ki a (\(\displaystyle 9x+117\))-ből \(\displaystyle 9\)-et.

Ezután már észrevehető, hogy teljes négyzetté lehet alakítani az algebrai kifejezést:

\(\displaystyle 16x^2-24x\sqrt{x+13}+9(x+13)=0,\)

\(\displaystyle (4x)^2-2\cdot 4x\cdot 3\sqrt{x+13}+(3\sqrt{x+13})^2=0,\)

\(\displaystyle (4x-3\sqrt{x+13})^2=0,\)

\(\displaystyle 4x=3\sqrt{x+13}.\)

A jobb oldalon szereplő gyökös kifejezés miatt a a bal oldalon is nemnegatív számnak kell lennie, így \(\displaystyle x\ge 0\). A négyzetre emelés után kapott másodfokú egyenlet

\(\displaystyle 16x^2-9x-117=0,\)

amelynek pozitv megoldása \(\displaystyle x=3\). Behelyettesítéssel azonnal adódik, hogy ez valóban megoldás is.

Statistics:

115 students sent a solution.
4 points:	89 students.
3 points:	16 students.
2 points:	3 students.
1 point:	4 students.
0 point:	3 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2021