Problem B. 5146. (January 2021)

B. 5146. $\displaystyle T$ is a cuboid of unit volume, and $\displaystyle M$ is a point in its interior. Point $\displaystyle M$ is reflected in the planes of the faces. Let $\displaystyle D$ be the convex hull of the $\displaystyle 6$ images obtained. Determine the volume of the solid $\displaystyle T\cap D$.

(5 pont)

Deadline expired on February 15, 2021.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Először is állapítsuk meg, hogy a tükörképek konvex burka egy $\displaystyle D$ duplagúla, melynek kombinatorikus struktúrája az oktaéderével megegyező.

Helyezzük el a téglatestet az első térnyolcadban úgy, hogy az egyik csúcsa az $\displaystyle O$ origó legyen, és az erre a csúcsra illeszkedő lapsíkok legyenek a koordináta-síkok. Ekkor az origóval átellenes csúcs $\displaystyle (a,b,c)$, ahol $\displaystyle a$, $\displaystyle b$ és $\displaystyle c$ a téglatest élei, $\displaystyle abc=1$ a feltétel szerint.

Tükrözzük az $\displaystyle M(x_0,y_0,z_0)$ pontot a koordináta-síkokra, így értelemszerűen kapjuk az $\displaystyle M'_{xy}(x_0,y_0,-z_0)$, $\displaystyle M'_{xz}(x_0,-y_0,z_0)$ és $\displaystyle M'_{yz}(-x_0,y_0,z_0)$ pontokat. Behelyettesítéssel ellenőrizhetjük, hogy ezen tükörképek mindegyike illeszkedik az

$\displaystyle \frac x{x_0}+\frac y{y_0} + \frac z {z_0}=1$

síkra. Ebből következik, hogy az $\displaystyle M'_{xy}$, $\displaystyle M'_{xz}$ és $\displaystyle M'_{yz}$ tükörképekre illeszkedő lapsíkja $\displaystyle D$-nek a koordináta-tengelyeket rendre $\displaystyle x_0$, $\displaystyle y_0$ és $\displaystyle z_0$ pontjaiban metszi. Ezek nyilvánvalóan épp az $\displaystyle M$ pont vetületei a tengelyeken.

A fenti számolást mindeegyik csúcsra elvégezve következik, hogy a $\displaystyle T\cap D$ metszet a következőképp származtatható: vetítsük le $\displaystyle M$-et a $\displaystyle T$ téglatest minden élére, majd vágjuk le $\displaystyle T$-ből minden csúcsát a csúcsból induló élekre eső vetületek által meghatározott síkkal. Így $\displaystyle T$-ből összesen $\displaystyle 8$ darab egymásba nem nyúló (esetleg csúcsokban érintkező) ``saroktetraédert'' vágunk le, ezek páronként merőleges élhármasainak hossza $\displaystyle \{x_0,y_0,z_0\}$; $\displaystyle \{a-x_0,y_0,z_0\}$;$\displaystyle \{a-x_0,b-y_0, z_0\}$; stb.

Az eddigiek alapján:

$$\begin{align*} V(T\cap D)& =V(T)-V_{\text{saroktetraéderek}}=\\ & =1-\frac{x_0y_0z_0+(a-x_0)y_0z_0+x_0(b-y_0)z_0+x_0y_0(c-z_0)}{6}-\\ & -\frac{(a-x_0)(b-y_0)z_0+(a-x_0)y_0(c-z_0)+x_0(b-y_0)(c-z_0)+(a-x_0)(b-y_0)(c-z_0)}{6}=\\ & =1-\frac{abc}{6}=\frac 56. \end{align*}$$

A $\displaystyle T\cap D$ poliéder térfogata tehát $\displaystyle 5/6$ térfogategység.

Megjegyzés. A saroktetraéderek térfogatainak összegét számolás nélkül is meghatározhatjuk, ha észrevesszük, hogy a derékszögű csúcsaiknál összeillesztve egy $\displaystyle D$-hez hasonló duplagúlát kapunk, amelynek testátlói éppen $\displaystyle a$, $\displaystyle b$ és $\displaystyle c$, térfogata pedig $\displaystyle abc/6=1/6$.

Statistics:

68 students sent a solution.

5 points: Balogh Ádám Péter, Bán-Szabó Áron, Baski Bence, Beinschroth Ninett, Bencsik Ádám, Bencsik Dávid, Biró 424 Ádám, Bognár 171 András Károly, Csizmadia Miklós, Diaconescu Tashi, Dienes Ervin Fotisz, Duchon Márton, Egyházi Hanna, Farkas 512 Izabella, Fekete Richárd, Fey Dávid, Győrffi Ádám György, Hajdú Bálint, Hegedűs Dániel, Kalocsai Zoltán, Kiss 625 Dóra, Koleszár Domonkos, Kovács 129 Tamás, Kökényesi Márk Péter, Köpenczei Csanád, Lengyel Ádám, Lenkey Gyöngyvér, Mácsai Dániel, Márton Kristóf, Metzger Ábris András, Molnár-Szabó Vilmos, Nádor Benedek, Nagy 551 Levente, Osztényi József, Páhán Anita Dalma, Sándor Péter, Seres-Szabó Márton, Simon László Bence, Somogyi Dalma, Szabó András József , Szanyi Attila, Sztranyák Gabriella, Terjék András József, Tóth 057 Bálint, Török Ágoston, Varga Boldizsár, Virág Rudolf.

4 points: 5 students.

3 points: 7 students.

2 points: 3 students.

1 point: 3 students.

0 point: 1 student.

Unfair, not evaluated: 2 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2021

68 students sent a solution.
5 points:	Balogh Ádám Péter, Bán-Szabó Áron, Baski Bence, Beinschroth Ninett, Bencsik Ádám, Bencsik Dávid, Biró 424 Ádám, Bognár 171 András Károly, Csizmadia Miklós, Diaconescu Tashi, Dienes Ervin Fotisz, Duchon Márton, Egyházi Hanna, Farkas 512 Izabella, Fekete Richárd, Fey Dávid, Győrffi Ádám György, Hajdú Bálint, Hegedűs Dániel, Kalocsai Zoltán, Kiss 625 Dóra, Koleszár Domonkos, Kovács 129 Tamás, Kökényesi Márk Péter, Köpenczei Csanád, Lengyel Ádám, Lenkey Gyöngyvér, Mácsai Dániel, Márton Kristóf, Metzger Ábris András, Molnár-Szabó Vilmos, Nádor Benedek, Nagy 551 Levente, Osztényi József, Páhán Anita Dalma, Sándor Péter, Seres-Szabó Márton, Simon László Bence, Somogyi Dalma, Szabó András József , Szanyi Attila, Sztranyák Gabriella, Terjék András József, Tóth 057 Bálint, Török Ágoston, Varga Boldizsár, Virág Rudolf.
4 points:	5 students.
3 points:	7 students.
2 points:	3 students.
1 point:	3 students.
0 point:	1 student.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.

Already signed up?
New to KöMaL?