Problem B. 5151. (February 2021)

B. 5151. Prove that if \(\displaystyle a^2=b^2+ac=c^2+ab\), then two of the numbers \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) are equal.

(3 pont)

Deadline expired on March 10, 2021.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A \(\displaystyle b^2+ac=c^2+ab\) egyenletet átrendezve és szorzattá alakítva:

\(\displaystyle b^2-c^2+ac-ab=0,\)

\(\displaystyle (b-c)(b+c-a)=0.\)

Ez az egyenlet pontosan akkor teljesül, ha \(\displaystyle b=c\) vagy \(\displaystyle b+c-a=0\). Előbbi esetben készen vagyunk, tegyük fel tehát, hogy \(\displaystyle b+c-a=0\), azaz \(\displaystyle a=b+c\). Ezt az \(\displaystyle a^2=b^2+ac\) egyenletbe behelyettesítve:

\(\displaystyle (b+c)^2=b^2+(b+c)c,\)

\(\displaystyle b^2+2bc+c^2=b^2+bc+c^2,\)

\(\displaystyle bc=0.\)

Mivel \(\displaystyle a=b+c\), valamint \(\displaystyle bc=0\) alapján \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\) valamelyike biztosan 0, így \(\displaystyle a\) megegyezik \(\displaystyle b\)-vel vagy \(\displaystyle c\)-vel.

Ezzel igazoltuk a feladat állítását.

Megjegyzés. A feltételeknek eleget tevő \(\displaystyle (a,b,c)\) hármasok a fentiek alapján könnyen meg is kereshetők. Ha \(\displaystyle b=c\), akkor az \(\displaystyle a^2=b^2+ab\) másodfokú egyenletet megoldva: \(\displaystyle a=\frac{b\pm \sqrt{b^2+4b^2}}{2}=\frac{b\pm \sqrt{5}b}{2}\) alapján az \(\displaystyle (\frac{1+\sqrt5}{2}b,b,b)\), \(\displaystyle (\frac{1-\sqrt5}{2}b,b,b)\) alakú hármasokat kapjuk.

Ha pedig \(\displaystyle a=b+c\), akkor \(\displaystyle bc=0\) alapján az \(\displaystyle (a,0,a)\), \(\displaystyle (a,a,0)\) alakú hármasokat kapjuk.

Statistics:

124 students sent a solution.
3 points:	101 students.
2 points:	12 students.
1 point:	4 students.
0 point:	3 students.
Unfair, not evaluated:	4 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2021