Problem B. 5153. (February 2021)

B. 5153. Let \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\) denote the vertices of an equilateral triangle of unit side, and let \(\displaystyle D\) be a point on the extension of side \(\displaystyle AB\) beyond \(\displaystyle B\). The perpendicular drawn to line segment \(\displaystyle BC\) at \(\displaystyle B\) intersects line segment \(\displaystyle CD\) at \(\displaystyle E\) (see figure). Find the length of \(\displaystyle CE\), given that \(\displaystyle ED=1\).

Proposed by L. Szilassi and T. Tarcsay, Szeged

(4 pont)

Deadline expired on March 10, 2021.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A \(\displaystyle B\) pont \(\displaystyle A\)-ra vonatkozó tükörképét jelölje \(\displaystyle B'\). Legyen továbbá \(\displaystyle x=EC\).

Az \(\displaystyle AB'C\) háromszög egyenlő szárú, \(\displaystyle B'A=AB=AC=1\), \(\displaystyle CB'A\sphericalangle = B'CA\sphericalangle = \frac{1}{2}CAB\sphericalangle = 30^{\circ}\), ezért \(\displaystyle B'C=\sqrt{3}\). Továbbá \(\displaystyle CB'D\sphericalangle = 30^{\circ} = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 60^{\circ}) = 180^{\circ} - (EBC\sphericalangle + CBA\sphericalangle) = DBE\sphericalangle\). Így a \(\displaystyle DB'C\) és \(\displaystyle EBD\) háromszögek hasonlók, következésképpen

\(\displaystyle \frac{CB'}{CD} = \frac{EB}{DE}, \)

tehát Pitagorasz tétele és a feladat feltételei alapján

\(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{x+1} = \frac{\sqrt{x^2-1}}{1}. \)

Négyzetre emelve, rendezve, majd szorzattá alakítva:

\(\displaystyle \frac{3}{x^2+2x+1} = \frac{x^2-1}{1}, \)

\(\displaystyle 3 = (x^2+2x+1)(x^2-1), \)

\(\displaystyle 0=x^4 + 2x^3 - 2x -4 = (x+2)(x^3 - 2). \)

A kapott egyenlet egyetlen pozitív megoldása \(\displaystyle EC=x=\root {3}\of {2}\).

Megjegyzés. A feladat kitűzői a probléma matematikatörténeti vonatkozásaira szeretnék felhívni az érdeklődők figyelmét:

Egy KöMaL feladat, és ami mögötte van....
A neuszisz vonalzó

Statistics:

82 students sent a solution.
4 points:	67 students.
3 points:	7 students.
2 points:	6 students.
1 point:	2 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2021