Problem B. 5154. (February 2021)
B. 5154. Find all functions \(\displaystyle f\) taking on positive integer values, and defined on the set of positive integers such that \(\displaystyle f\big(f(n)\big)=2n\) and \(\displaystyle f(4n-3)=4n-1\) for all positive integers \(\displaystyle n\).
Proposed by S. Róka, Nyíregyháza
(4 pont)
Deadline expired on March 10, 2021.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Először is jegyezzük meg, hogy \(\displaystyle f\) a páratlan helyeken egyértelműen meghatározott. Ha egy pozitív páratlan szám 4-es maradéka 1, akkor \(\displaystyle 4n-3\) alakban írható és a feltétel alapján \(\displaystyle f(4n-3)=4n-1\). Ha pedig egy pozitív páratlan szám 4-es maradéka 3, akkor \(\displaystyle 4n-1\) alakban írható és \(\displaystyle f(4n-1)=f(f(4n-3))=2(4n-3)\) a megadott feltételeket használva.
Az \(\displaystyle f(f(k))=2k\) összefüggést először \(\displaystyle k=n\)-re, majd \(\displaystyle k=f(n)\)-re alkalmazva kapjuk, hogy
\(\displaystyle f(2n)=f(f(f(n)))=2f(n).\)
Ennek ismételt alkalmazásával kapható, hogy \(\displaystyle f(2^{\alpha}n)=2f(2^{\alpha-1}n)=\dots=2^{\alpha}f(n)\). Mivel \(\displaystyle 2^{\alpha}n\) alakban minden páros szám előállítható páratlan \(\displaystyle n\) mellett (\(\displaystyle \alpha\) éppen a 2 kitevője a szám prímtényezős felbontásában), ezért a függvény a páros helyeken is egyértelműen meghatározott.
Az eddigieket összefoglalva tehát: minden pozitív egész szám (egyértelműen) felírható vagy \(\displaystyle 2^{\alpha}(4n-3)\) vagy \(\displaystyle 2^{\alpha}(4n-1)\) alakban, ahol \(\displaystyle \alpha\) nemnegatív egész szám, \(\displaystyle n\) pedig pozitív egész szám. (\(\displaystyle 2^\alpha\) a szám legnagyobb 2-hatvány osztója, \(\displaystyle 4n-3\) vagy \(\displaystyle 4n-1\) pedig a szám legnagyobb páratlan osztója, vagyis a szám páratlan része.) Ezen alakot használva a függvény a következő alakban írható:
| \(\displaystyle \begin{cases} f(2^{\alpha}(4n-3))=2^{\alpha}(4n-1)\\ f(2^{\alpha}(4n-1))=2^{\alpha+1}(4n-3) \end{cases} \) | \(\displaystyle {(*)} \) |
Meg kell még mutatnunk, hogy ez a függvény megfelelő. Világos, hogy pozitív egész számokhoz rendel pozitív egész számokat.
A \(\displaystyle 4n-3\) szám előállítása a fenti alakban \(\displaystyle 4n-3=2^0(4n-3)\), így \(\displaystyle f(4n-3)=2^0(4n-1)=4n-1\), vagyis ez a feltétel teljesül.
Az \(\displaystyle f(f(n))=2n\) feltétel ellenőrzéséhez írjuk \(\displaystyle n\)-et \(\displaystyle n=2^{\alpha}(4k-3)\) vagy \(\displaystyle n=2^{\alpha}(4k-1)\) alakban, ahol \(\displaystyle \alpha\) nemnegatív egész, \(\displaystyle k\) pozitív egész. Előbbi esetben
\(\displaystyle f(f(n))=f(f(2^{\alpha}(4k-3)))=f(2^{\alpha}(4k-1))=2^{\alpha+1}(4k-3)=2n,\)
utóbbi esetben pedig
\(\displaystyle f(f(n))=f(f(2^{\alpha}(4k-1)))=f(2^{\alpha+1}(4k-3))=2^{\alpha+1}(4k-1)=2n,\)
vagyis az előírt feltétel mindenképpen teljesül.
Ezzel megmutattuk, hogy egyetlen megfelelő függvény van, éspedig az, melyet a \(\displaystyle (*)\) képletek adnak meg.
Statistics:
66 students sent a solution. 4 points: Arató Zita, Bán-Szabó Áron, Beinschroth Ninett, Csizmadia Miklós, Diaconescu Tashi, Farkas 512 Izabella, Fekete Richárd, Fülöp Csilla, Hegedűs Dániel, Inokai Dávid, Jan Engler, Kercsó-Molnár Anita, Kerekes Boldizsár, Király Csaba Regő, Koleszár Domonkos, Kovács 129 Tamás, Kökényesi Márk Péter, Köpenczei Csanád, Lengyel Ádám, Lovas Márton, Mácsai Dániel, Márton Kristóf, Metzger Ábris András, Molnár-Szabó Vilmos, Móricz Benjámin, Nádor Benedek, Nagy 429 Leila, Nagy 551 Levente, Németh Márton, Nyárfádi Patrik, Osztényi József, Páhán Anita Dalma, Rareș Polenciuc, Seres-Szabó Márton, Simon László Bence, Sipeki Márton, Somogyi Dalma, Szanyi Attila, Sztranyák Gabriella, Terjék András József, Tóth 057 Bálint, Trombitás Karolina Sarolta, Velich Nóra, Világi Áron, Wiener Anna, Zömbik Barnabás. 3 points: 8 students. 2 points: 8 students. 1 point: 3 students. 0 point: 1 student.
Problems in Mathematics of KöMaL, February 2021