Problem B. 5159. (March 2021)

B. 5159. Solve the equation

\(\displaystyle \left[\frac{2020-x}{x-1}\right]+\left[\frac{2021+x}{x+1}\right]=82 \)

over the set of integers, where \(\displaystyle [c]\) denotes the greatest integer not greater than \(\displaystyle c\).

Proposed by Zs. M. Tatár, Esztergom

(4 pont)

Deadline expired on April 12, 2021.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Először is megjegyezzük, hogy az egyenlet pontosan akkor értelmes, ha az \(\displaystyle x\) pozitív egész szám 1-nél nagyobb.

Mivel

\(\displaystyle \left[\frac{2020-x}{x-1}\right]=\left[\frac{2020-x+(x-1)}{x-1}\right]-1=\left[\frac{2019}{x-1}\right]-1\)

és

\(\displaystyle \left[\frac{2021+x}{x+1}\right]=\left[\frac{2021+x-(x+1)}{x+1}\right]+1=\left[\frac{2020}{x+1}\right]+1,\)

ezért az egyenlet

\(\displaystyle \left[\frac{2019}{x-1}\right]+\left[\frac{2020}{x+1}\right]=82\)

alakban is írható. Világos, hogy \(\displaystyle x\geq 2\)-re a bal oldalon álló kifejezés monoton csökkenő függvénye \(\displaystyle x\)-nek. Vegyük észre, hogy \(\displaystyle x=50\)-re a bal oldalon szereplő tagok mindegyike körülbelül 40, így érdemes a pontos számítást elvégezni:

\(\displaystyle \left[\frac{2019}{49}\right]+\left[\frac{2020}{51}\right]=41+39=80.\)

Tehát a monotonitás alapján \(\displaystyle x<50\) kell legyen, mert \(\displaystyle x=50\)-re az összeg már túl kicsi. Ha \(\displaystyle x=49\), akkor az összeg értéke

\(\displaystyle \left[\frac{2019}{48}\right]+\left[\frac{2020}{50}\right]=42+40=82,\)

vagyis az egyenlet teljesül. Ezután \(\displaystyle x=48\)-at is megvizsgálva az összeg értékére

\(\displaystyle \left[\frac{2019}{47}\right]+\left[\frac{2020}{49}\right]=42+41=83\)

adódik, ami már túl nagy. Tehát a monotonitás alapján az egyetlen megoldás \(\displaystyle x=49\).

Statistics:

99 students sent a solution.
4 points:	68 students.
3 points:	20 students.
2 points:	4 students.
1 point:	5 students.
0 point:	2 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2021