Problem B. 5160. (March 2021)

B. 5160. What may be the value of \(\displaystyle x+y+z\) if

\(\displaystyle \sqrt{x-1}+2\sqrt{y-4}+3\sqrt{z-9}=\frac{x+y+z}{2}? \)

Proposed by M. Szalai, Szeged

(3 pont)

Deadline expired on April 12, 2021.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Először is jegyezzük meg, hogy a megadott egyenlet pontosan akkor értelmes, ha \(\displaystyle x\geq 1\), \(\displaystyle y\geq 4\) és \(\displaystyle z\geq 9\).

Vezessük be az

\(\displaystyle a:=\sqrt{x-1},\quad b:=\sqrt{y-4},\quad c:=\sqrt{z-9}\)

jelöléseket. Ekkor \(\displaystyle x=a^2+1\), \(\displaystyle y=b^2+4\) és \(\displaystyle z=c^2+9\), így a megadott egyenlet

\(\displaystyle a+2b+3c=\frac{(a^2+1)+(b^2+4)+(c^2+9)}{2}\)

alakban írható. Az egyenletet 2-vel szorozva és rendezve:

\(\displaystyle 0=a^2-2a+b^2-4b+c^2-6c+14,\)

majd teljes négyzeteket kialakítva:

\(\displaystyle 0=(a-1)^2+(b-2)^2+(c-3)^2.\)

A jobb oldalon szereplő tagok nemnegatívak, hiszen mindegyikük egy-egy valós szám négyzete, így összegük csak úgy lehet 0, ha mindegyikük 0, vagyis, ha \(\displaystyle a=1\), \(\displaystyle b=2\) és \(\displaystyle c=3\). Ekkor \(\displaystyle x=a^2+1=2\), \(\displaystyle y=b^2+4=8\) és \(\displaystyle z=c^2+9=18\).

Azt kaptuk tehát, hogy a megadott egyenlet pontosan akkor teljesül, ha \(\displaystyle (x;y;z)=(2;8;18)\). Így \(\displaystyle x+y+z\) értéke csak \(\displaystyle 2+8+18=28\) lehet.

Statistics:

88 students sent a solution.
3 points:	70 students.
2 points:	16 students.
0 point:	2 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2021