A B. 5162. feladat (2021. március)

B. 5162. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög oldalai 9, 10 és 17 egység hosszúak. Mekkora az \(\displaystyle ABC\) háromszög külső szögfelezői által meghatározott háromszög területe?

Javasolta: Tatár Zsuzsanna Mária (Esztergom)

(5 pont)

A beküldési határidő 2021. április 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög külső szögfelezői által meghatározott háromszög legyen \(\displaystyle A_1B_1C_1\) az ábra szerint.

Az \(\displaystyle ABC\) háromszög oldalai \(\displaystyle a=9\), \(\displaystyle b=10\) és \(\displaystyle c=17\), félkerülete \(\displaystyle s=\frac{a+b+c}2=\frac{9+10+17}2=18\).

A Héron-képlet szerint a területe

\(\displaystyle t = t_{ABC} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{18\cdot9\cdot8\cdot1} = 36. \)

Ismeretes, hogy a hozzáírt körök sugarai \(\displaystyle r_a = \dfrac{t}{s-a}\), \(\displaystyle r_b = \dfrac{t}{s-b}\), illetve \(\displaystyle r_c = \dfrac{t}{s-c}\); ezekből

\(\displaystyle r_a=\dfrac{36}{18-9}=4, \quad r_b=\dfrac{36}{18-10}=4.5 \quad\text{és}\quad r_c=\dfrac{36}{18-17}=36. \)

Az \(\displaystyle A_1BC\) háromszögben a \(\displaystyle BC=a=9\) oldalhoz tartozó magasság \(\displaystyle r_a=4\), tehát

\(\displaystyle t_{A_1BC}=\frac{a\cdot r_a}{2}=\frac{9\cdot 4}2=18. \)

Hasonlóan látjuk, hogy

\(\displaystyle t_{B_1CA}=\frac{b\cdot r_b}{2}=\frac{10\cdot 4.5}2=22.5 \quad\text{és}\quad t_{C_1AB}=\frac{c\cdot r_c}{2}=\frac{17\cdot 36}2=306. \)

Végül,

\(\displaystyle t_{A_1B_1C_1} = t_{ABC} + t_{A_1BC} + t_{B_1CA} + t_{C_1AB} = 36+18+22.5+156 = 382.5 \quad\text{egység.} \)

Statisztika:

86 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	68 versenyző.
4 pontot kapott:	3 versenyző.
3 pontot kapott:	8 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2021. márciusi matematika feladatai