Problem B. 5162. (March 2021)

B. 5162. The sides of triangle \(\displaystyle ABC\) are 9, 10 and 17 units long. What is the area of the triangle formed by the exterior angle bisectors of triangle \(\displaystyle ABC\)?

Proposed by Zs. M. Tatár, Esztergom

(5 pont)

Deadline expired on April 12, 2021.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög külső szögfelezői által meghatározott háromszög legyen \(\displaystyle A_1B_1C_1\) az ábra szerint.

Az \(\displaystyle ABC\) háromszög oldalai \(\displaystyle a=9\), \(\displaystyle b=10\) és \(\displaystyle c=17\), félkerülete \(\displaystyle s=\frac{a+b+c}2=\frac{9+10+17}2=18\).

A Héron-képlet szerint a területe

\(\displaystyle t = t_{ABC} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{18\cdot9\cdot8\cdot1} = 36. \)

Ismeretes, hogy a hozzáírt körök sugarai \(\displaystyle r_a = \dfrac{t}{s-a}\), \(\displaystyle r_b = \dfrac{t}{s-b}\), illetve \(\displaystyle r_c = \dfrac{t}{s-c}\); ezekből

\(\displaystyle r_a=\dfrac{36}{18-9}=4, \quad r_b=\dfrac{36}{18-10}=4.5 \quad\text{és}\quad r_c=\dfrac{36}{18-17}=36. \)

Az \(\displaystyle A_1BC\) háromszögben a \(\displaystyle BC=a=9\) oldalhoz tartozó magasság \(\displaystyle r_a=4\), tehát

\(\displaystyle t_{A_1BC}=\frac{a\cdot r_a}{2}=\frac{9\cdot 4}2=18. \)

Hasonlóan látjuk, hogy

\(\displaystyle t_{B_1CA}=\frac{b\cdot r_b}{2}=\frac{10\cdot 4.5}2=22.5 \quad\text{és}\quad t_{C_1AB}=\frac{c\cdot r_c}{2}=\frac{17\cdot 36}2=306. \)

Végül,

\(\displaystyle t_{A_1B_1C_1} = t_{ABC} + t_{A_1BC} + t_{B_1CA} + t_{C_1AB} = 36+18+22.5+156 = 382.5 \quad\text{egység.} \)

Statistics:

86 students sent a solution.
5 points:	68 students.
4 points:	3 students.
3 points:	8 students.
2 points:	3 students.
0 point:	2 students.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2021