Problem B. 5167. (April 2021)

B. 5167. Consider two circles in the plane that have common interior tangents. Show that the circle passing through the points of contact of the internal tangents bisects the line segment connecting the centres of the two original circles.

Proposed by the class 8C of Fazekas Mihály Primary and Secondary Grammar School of Budapest

(3 pont)

Deadline expired on May 10, 2021.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen a két kör középpontja \(\displaystyle O_1\) és \(\displaystyle O_2\), a közös belső érintők érintési pontjai \(\displaystyle A, C\), illetve \(\displaystyle B, D\) az ábra szerint.

Az egész ábra szimmetrikus a centrálisra, így \(\displaystyle ABCD\) szimmetrikus trapéz, tehát írható köré kör, továbbá a kör középpontja rajta van a centrálison. Az \(\displaystyle AC\) érintőszakaszhoz tartozó \(\displaystyle O_1A\) és \(\displaystyle O_2C\) sugarak merőlegesek az érintőre, így egymással párhuzamosak. Az eddigiek alapján látjuk, hogy \(\displaystyle O_1AO_2C\) trapéz, melynek alapjai az \(\displaystyle O_1A\) és \(\displaystyle O_2C\) szakaszok, átlói pedig \(\displaystyle AC\) és \(\displaystyle O_1O_2\). Az érintési pontokon átmenő körnek \(\displaystyle AC\) az egyik húrja, így annak \(\displaystyle f\) felezőmerőlegese párhuzamos az alapokkal, felezi az átlót, tehát éppen a középvonal egyenese. Másrészt tudjuk, hogy a húr felezőmerőlegese átmegy a kör \(\displaystyle F\) középpontján. A középvonal felezi a másik átlót, az \(\displaystyle O_1O_2\) szakaszt is. Ezzel az állítást beláttuk.

Statistics:

59 students sent a solution.
3 points:	52 students.
2 points:	4 students.
0 point:	2 students.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2021