Problem B. 5169. (April 2021)
B. 5169. Find the real solutions of the equation
\(\displaystyle \sqrt[3]{2x+11}+\sqrt[3]{3x+4}=\sqrt[3]{x+9}+\sqrt[3]{4x+6}. \)
Proposed by M. Szalai, Szeged
(5 pont)
Deadline expired on May 10, 2021.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Az egyenlet minden valós \(\displaystyle x\)-re értelmes.
Legyen
\(\displaystyle a:=\root 3\of {2x+11},\quad b:=\root 3\of {3x+4}, \quad c:=\root 3\of {x+9},\quad d:=\root 3\of {4x+6}.\)
A feltétel alapján
| \(\displaystyle a+b=c+d, \) | \(\displaystyle {(*)}\) |
ugyanakkor könnyen észrevehető, hogy
| \(\displaystyle a^3+b^3=c^3+d^3(=5x+15) \) | \(\displaystyle {(**)}\) |
is teljesül.
Először vizsgáljuk meg azt az esetet, amikor
\(\displaystyle a+b=c+d=0.\)
Ekkor \(\displaystyle b=-a\), és így \(\displaystyle b^3=-a^3\), azaz \(\displaystyle 3x+4=-(2x+11)\), amiből \(\displaystyle x=-3\). Az eredeti egyenletbe behelyettesítve:
\(\displaystyle \root 3\of 5+\root 3\of {-5}=\root 3\of 6+\root 3\of {-6},\)
ami valóban teljesül, mindkét oldal értéke 0.
Most tegyük fel, hogy \(\displaystyle a+b=c+d\ne 0\). Ekkor \(\displaystyle (*)\) és \(\displaystyle (**)\) egyenleteket elosztva egymással kapjuk, hogy
\(\displaystyle a^2-ab+b^2=\frac{a^3+b^3}{a+b}=\frac{c^3+d^3}{c+d}=c^2-cd+d^2.\)
Ekkor viszont
\(\displaystyle (a+b)^2-3ab=a^2-ab+b^2=c^2-cd+d^2=(c+d)^2-3cd\)
és
\(\displaystyle a+b=c+d\)
alapján \(\displaystyle ab = cd\).
Tehát \(\displaystyle a,b\), illetve \(\displaystyle c,d\) egyaránt a \(\displaystyle z^2-(a+b)z+ab=z^2-(c+d)z+cd\) polinom két gyöke, ezért \(\displaystyle a=c\) és \(\displaystyle b=d\) vagy \(\displaystyle a=d\) és \(\displaystyle b=c\).
Az előbbi esetben \(\displaystyle a^3=c^3\), vagyis \(\displaystyle 2x+11=x+9\), amiből \(\displaystyle x=-2\). Ez valóban megoldást ad, hiszen
\(\displaystyle \root 3\of 7+\root 3\of {-2}=\root 3\of 7+\root 3\of {-2}.\)
Az utóbbi esetben \(\displaystyle a^3=d^3\), vagyis \(\displaystyle 2x+11=4x+6\), amiből \(\displaystyle x=5/2\).
Ez is megoldást ad, hiszen
\(\displaystyle \root 3\of {16}+\root 3\of {23/2}=\root 3\of {23/2}+\root 3\of {16}.\)
Tehát az egyenletnek három megoldása van: \(\displaystyle x=-3\), \(\displaystyle x=-2\) és \(\displaystyle x=5/2\).
Megjegyzés. Az \(\displaystyle ab=cd\) lehetőség az \(\displaystyle \sqrt[3]{(2x+11)(3x+4)}=\sqrt[3]{(x+9)(4x+6)}\) egyenlethez vezet, melyből \(\displaystyle 6x^2+41x+44=4x^2+42x+54\), végül \(\displaystyle 2x^2-x-10=0\), melynek gyökei \(\displaystyle x=-2\) és \(\displaystyle x=\frac52\).
Statistics:
80 students sent a solution. 5 points: 57 students. 4 points: 4 students. 3 points: 9 students. 2 points: 4 students. 0 point: 5 students. Unfair, not evaluated: 1 solutions.
Problems in Mathematics of KöMaL, April 2021