Problem B. 5170. (April 2021)
B. 5170. Let \(\displaystyle \alpha\) and \(\displaystyle \beta\) be acute angles such that \(\displaystyle \sin^2\alpha+\sin^2\beta=\sin{(\alpha+\beta)}\). Prove that \(\displaystyle \alpha+\beta=90^{\circ}\).
(4 pont)
Deadline expired on May 10, 2021.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. A jobb oldalt az addiciós tétel segítségével kibontva:
\(\displaystyle \sin^2\alpha+\sin^2\beta=\sin\alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta, \)
majd ezt átrendezve:
| \(\displaystyle \sin\alpha (\sin\alpha - \cos\beta) = \sin\beta (\cos \alpha - \sin \beta).\) | \(\displaystyle (1)\) |
Vizsgáljuk meg az egyes szorzótényezők előjelét. Mivel \(\displaystyle \alpha\) és \(\displaystyle \beta\) hegyesszögek, így \(\displaystyle \sin \alpha\) és \(\displaystyle \sin \beta\) mindenképp pozitív.
A bal oldalon álló \(\displaystyle (\sin\alpha - \cos\beta)\) szorzótényező átírható így: \(\displaystyle \sin \alpha - \sin (90^\circ - \beta)\). Mivel \(\displaystyle 90^\circ - \beta\) is hegyesszög, és a \(\displaystyle \sin\) szigorúan monoton növő függvény a hegyesszögeken, ezért azt kapjuk, hogy \(\displaystyle \sin\alpha - \cos\beta\) kifejezés előjele megyegyezik az \(\displaystyle \alpha - (90^\circ-\beta) = \alpha + \beta - 90^\circ\) kifejezés előjelével.
Ugyanilyen gondolatmenettel belátható, hogy az (1) jobb oldalán álló \(\displaystyle (\cos \alpha - \sin \beta)\) kifejezés előjele pedig éppen ellentétes \(\displaystyle \alpha + \beta - 90^\circ\) előjelével.
Ha tehát \(\displaystyle \alpha + \beta - 90^\circ \neq 0\), akkor az (1) egyenlet egyik oldala pozitív, míg a másik negatív. Emiatt az egyenlet csak akkor teljesülhet, ha \(\displaystyle \alpha + \beta - 90^\circ = 0\).
Statistics:
69 students sent a solution. 4 points: Arató Zita, Bán-Szabó Áron, Baski Bence, Beinschroth Ninett, Bognár 171 András Károly, Diaconescu Tashi, Duchon Márton, Egyházi Hanna, Farkas 512 Izabella, Fekete Richárd, Hegedűs Dániel, Horváth 530 Mihály, Horváth Áron, Kalocsai Zoltán, Kercsó-Molnár Anita, Koleszár Domonkos, Kovács 129 Tamás, Kovács Alex, Márton Kristóf, Metzger Ábris András, Mohay Lili Veronika, Molnár-Szabó Vilmos, Móricz Benjámin, Nádor Benedek, Nagy 551 Levente, Romaniuc Albert-Iulian, Sipeki Márton, Sógor Bence, Szakács Ábel, Szanyi Attila, Sztranyák Gabriella, Terjék András József, Varga Boldizsár. 3 points: Argay Zsolt, Ben Gillott, Bencsik Ádám, Bencsik Dávid, Csilling Dániel, Csonka Illés, Deák Gergely, Németh Márton, Páhán Anita Dalma, Simon László Bence, Somogyi Dalma, Török Ágoston, Viharos Márta Judit, Zömbik Barnabás. 2 points: 9 students. 1 point: 6 students. 0 point: 6 students. Unfair, not evaluated: 1 solutions.
Problems in Mathematics of KöMaL, April 2021