Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 5171. feladat (2021. április)

B. 5171. Az \(\displaystyle OLMN\) és \(\displaystyle OABC\) tetraéderek úgy helyezkednek el, hogy az \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle C\) pontok rendre az \(\displaystyle OL\), \(\displaystyle OM\) és \(\displaystyle ON\) félegyenesek pontjai. Az \(\displaystyle LMN\) háromszög beírt körének középpontja egybeesik az \(\displaystyle ABC\) háromszög súlypontjával. Mutassuk meg, hogy az \(\displaystyle OLMN\) tetraéder térfogata legalább akkora, mint az \(\displaystyle OABC\) tetraéderé. Mi a feltétele annak, hogy a két tetraéder térfogata egyenlő legyen?

(Angol olimpiai válogatóverseny feladata, 1980)

(5 pont)

A beküldési határidő 2021. május 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Legyen az \(\displaystyle ABC\triangle\) súlypontja \(\displaystyle S\), az \(\displaystyle LMN\triangle\) beírt körének középpontja \(\displaystyle K\). Jelölje az \(\displaystyle \overrightarrow{OX}\) vektort \(\displaystyle \mathbf x\), ahol \(\displaystyle X\) az \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), stb. pontok valamelyike. Az \(\displaystyle LMN\) háromszög oldalainak hossza legyen \(\displaystyle \lambda, \mu\) és \(\displaystyle \nu\) (rendre az \(\displaystyle L\), \(\displaystyle M\), és \(\displaystyle N\) csúcsokkal szemben).

Az \(\displaystyle S\) súlypontba mutató vektorra \(\displaystyle \mathbf s=(\mathbf a+ \mathbf b+ \mathbf c)/3\), továbbá szintén jól ismert (egy levezetés található például itt, a 7. kidolgozott feladatban), hogy a \(\displaystyle K\) középpontba mutató vektorra

\(\displaystyle \mathbf k=\frac{\lambda}{\lambda+\mu +\nu}\mathbf l+\frac{\mu}{\lambda+\mu +\nu}\mathbf m + \frac{\nu}{\lambda+\mu +\nu}\mathbf n.\)

A feladat szövege szerint \(\displaystyle \mathbf s = \mathbf k\), így az \(\displaystyle \mathbf a \parallel \mathbf l\), \(\displaystyle \mathbf b \parallel \mathbf m\) és \(\displaystyle \mathbf c \parallel \mathbf n\) feltételek miatt

\(\displaystyle \frac{\mathbf a}{3}=\frac{\lambda}{\lambda+\mu +\nu}\mathbf l \, ; \, \frac{\mathbf b}{3}=\frac{\lambda}{\lambda+\mu +\nu}\mathbf m \, ; \, \frac{\mathbf c}{3}=\frac{\lambda}{\lambda+\mu +\nu}\mathbf n.\)

Ebből a vegyes szorzat tulajdonságai alapján

\(\displaystyle V_{OABC}=\frac{|\mathbf a \mathbf b \mathbf c|}{6}=\frac{3\lambda}{\lambda+\mu +\nu}\cdot \frac{3\mu}{\lambda+\mu +\nu}\cdot \frac{3\nu}{\lambda+\mu +\nu} \frac{|\mathbf l \mathbf m \mathbf n|}{6}=\frac{3\lambda}{\lambda+\mu +\nu}\cdot \frac{3\mu}{\lambda+\mu +\nu}\cdot \frac{3\nu}{\lambda+\mu +\nu} V_{OLMN},\)

azaz

\(\displaystyle V_{OABC}=\frac{27\lambda\mu \nu}{(\lambda+\mu+\nu)^3}V_{OLMN}.\)

A \(\displaystyle \lambda\), \(\displaystyle \mu\) és \(\displaystyle \nu\) pozitív számokra felírt számtani-mértani középegyenlőtlenség szerint

\(\displaystyle \frac{\lambda+\mu+\nu}{3}\ge \sqrt[3]{\lambda\mu\nu},\)

amiből átrendezéssel

\(\displaystyle \frac{27\lambda\mu \nu}{(\lambda+\mu+\nu)^3}\le 1.\)

Ebből \(\displaystyle V_{OABC}\le V_{OLMN}\) adódik, és egyenlőség csak \(\displaystyle \lambda=\mu=\nu\) esetben állhat, vagyis ha \(\displaystyle A=L\), \(\displaystyle B=M\) és \(\displaystyle C=N\) (továbbá \(\displaystyle ABC\triangle\) szabályos).


Statisztika:

A B. 5171. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2021. áprilisi matematika feladatai