Problem B. 5172. (April 2021)

B. 5172. Six regular dice are placed in a cup, and rolled simultaneously. Those dice that do not show a 6 are returned to the cup, and rolled again. If there are dice that still not show a 6, those dice are rolled a third time. The procedure is repeated until every dice shows a 6. What is the probability that exactly six rolls are needed?

(6 pont)

Deadline expired on May 10, 2021.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Úgy is képzelhetjük, hogy mindig mindegyik kockával dobunk (akkor is, ha 6-os jött ki vele), ebben a megfogalmazásban a kérdés úgy szól, mennyi annak a valószínűsége, hogy pontosan hat gurítás kell ahhoz, hogy mind a hat kockával legalább egyszer legyen 6-os dobás.

Pontosan hat gurításra akkor van szükség, ha hat elég, de öt még nem.

Először határozzuk meg annak a valószínűségét, hogy hat dobás elég. Annak a valószínűsége, hogy egy kockával hatból egyszer sem sikerül 6-ost dobni \(\displaystyle (5/6)^6\). Így annak az esélye, hogy mind a hat kockával sikerül legalább egy 6-ost dobni \(\displaystyle (1-(5/6)^6)^6\).

Ehhez hasonlóan annak a valószínűsége, hogy öt gurítás elég: \(\displaystyle (1-(5/6)^5)^6\).

Annak a valószínűsége tehát, hogy pontosan hatszor gurítunk:

\(\displaystyle (1-(5/6)^6)^6-(1-(5/6)^5)^6\approx 0,0408.\)

Statistics:

57 students sent a solution.
6 points:	Argay Zsolt, Bán-Szabó Áron, Ben Gillott, Bencsik Ádám, Bencsik Dávid, Csilling Dániel, Csizmadia Miklós, Duchon Márton, Farkas 512 Izabella, Fekete Richárd, Fülöp Csilla, Hegedűs Dániel, Jánosik Máté, Kalocsai Zoltán, Kercsó-Molnár Anita, Koleszár Domonkos, Kökényesi Márk Péter, Lenkey Gyöngyvér, Lovas Márton, Mátéfy Ádám , Metzger Ábris András, Molnár-Szabó Vilmos, Móricz Benjámin, Nádor Benedek, Nagy 551 Levente, Németh Márton, Seres-Szabó Márton, Simon László Bence, Sipeki Márton, Sógor Bence, Szanyi Attila, Sztranyák Gabriella, Terjék András József, Tóth 057 Bálint, Török Ágoston, Velich Nóra, Wiener Anna.
5 points:	Beinschroth Ninett, Csonka Illés, Osztényi József, Somogyi Martin Tibor, Szakács Ábel, Varga Boldizsár.
4 points:	1 student.
3 points:	5 students.
2 points:	6 students.
1 point:	1 student.
0 point:	1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2021