Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 5174. feladat (2021. május)

B. 5174. Mutassuk meg, hogy tetszőleges pozitív egész \(\displaystyle n\) esetén

\(\displaystyle (2n)! \le {(n^2 + n)}^n. \)

Javasolta: Szalai Máté (Szeged)

(3 pont)

A beküldési határidő 2021. június 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Megmutatjuk, hogy az \(\displaystyle 1\cdot (2n),2\cdot (2n-1),\dots, n\cdot (n+1)\) szorzatok mindegyike legfeljebb \(\displaystyle n^2+n\).

Legyen tehát \(\displaystyle a\in \{0,1,\dots,n-1\}\) és tekintsük az \(\displaystyle (n-a)(n+1+a)\) szorzatot:

\(\displaystyle (n-a)(n+1+a)=n(n+1)+na-na-a-a^2=n(n+1)-(a+a^2)\leq n(n+1)=n^2+n,\)

ahol egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha \(\displaystyle a=0\).

Ez azt jelenti, hogy az \(\displaystyle 1\cdot (2n),2\cdot (2n-1),\dots, (n-1)\cdot (n+2)\) szorzatok mindegyike kisebb, mint \(\displaystyle n^2+n\), az \(\displaystyle n(n+1)\) szorzat pedig éppen \(\displaystyle n^2+n\). Így a szorzatuk valóban legfeljebb \(\displaystyle (n^2+n)^n\):

\(\displaystyle (2n)!\leq (n^2+n)^n.\)

Egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha \(\displaystyle n=1\).


Statisztika:

A B. 5174. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2021. májusi matematika feladatai