Problem B. 5174. (May 2021)

B. 5174. Prove that

\(\displaystyle (2n)! \le {(n^2 + n)}^n \)

for all positive integers \(\displaystyle n\).

Proposed by M. Szalai, Szeged

(3 pont)

Deadline expired on June 10, 2021.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Megmutatjuk, hogy az \(\displaystyle 1\cdot (2n),2\cdot (2n-1),\dots, n\cdot (n+1)\) szorzatok mindegyike legfeljebb \(\displaystyle n^2+n\).

Legyen tehát \(\displaystyle a\in \{0,1,\dots,n-1\}\) és tekintsük az \(\displaystyle (n-a)(n+1+a)\) szorzatot:

\(\displaystyle (n-a)(n+1+a)=n(n+1)+na-na-a-a^2=n(n+1)-(a+a^2)\leq n(n+1)=n^2+n,\)

ahol egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha \(\displaystyle a=0\).

Ez azt jelenti, hogy az \(\displaystyle 1\cdot (2n),2\cdot (2n-1),\dots, (n-1)\cdot (n+2)\) szorzatok mindegyike kisebb, mint \(\displaystyle n^2+n\), az \(\displaystyle n(n+1)\) szorzat pedig éppen \(\displaystyle n^2+n\). Így a szorzatuk valóban legfeljebb \(\displaystyle (n^2+n)^n\):

\(\displaystyle (2n)!\leq (n^2+n)^n.\)

Egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha \(\displaystyle n=1\).

Statistics:

80 students sent a solution.
3 points:	75 students.
2 points:	1 student.
1 point:	1 student.
0 point:	2 students.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2021