Problem B. 5176. (May 2021)

B. 5176. The first \(\displaystyle n\) positive integers need to be written on the circumference of a circle (each number exactly once), so that the sums of all sets of three adjacent numbers should form exactly two different values. Find all possible values of \(\displaystyle n\).

(Scottish competition problem)

(4 pont)

Deadline expired on June 10, 2021.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Ahhoz, hogy kétféle érték is előfordulhasson, szükséges, hogy \(\displaystyle n\geq 4\) legyen, ezt a továbbiakban feltesszük.

Tekintsünk egy megfelelő felírást, ahol a körre a számokat az \(\displaystyle a_1,a_2,\dots,a_n\) sorrendben írjuk fel. Minden \(\displaystyle 1\leq i\leq n\) és \(\displaystyle j\geq 0\) egészek esetén legyen \(\displaystyle a_{i+jn}=a_i\), tehát például \(\displaystyle a_{n+1}=a_1\), \(\displaystyle a_{n+2}=a_2\), és így tovább..., a sorozatot kiterjesztjük egy olyan ciklikus sorozattá, melynek periódusa \(\displaystyle n\).

A kétféle előforduló érték legyen \(\displaystyle s\) és \(\displaystyle t\). Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy \(\displaystyle a_1+a_2+a_3=s\). Ekkor csak \(\displaystyle a_2+a_3+a_4=t\) lehetséges, hiszen \(\displaystyle a_2+a_3+a_4=s\)-ből \(\displaystyle a_1=a_4\) következne, ami ellentmond annak, hogy \(\displaystyle n\geq 4\). Ekkor viszont

\(\displaystyle a_4-a_1=(a_2+a_3+a_4)-(a_1+a_2+a_3)=t-s.\)

Ehhez hasonlóan, \(\displaystyle a_3+a_4+a_5=s\) (különben \(\displaystyle a_2=a_5\) lenne), és így

\(\displaystyle a_2-a_5=(a_2+a_3+a_4)-(a_3+a_4+a_5)=t-s.\)

Végül ugyanígy, \(\displaystyle a_4+a_5+a_6=t\) és \(\displaystyle a_5+a_6+a_7=s\), amikből

\(\displaystyle a_6-a_3=t-s\)

és

\(\displaystyle a_4-a_7=t-s.\)

Mivel \(\displaystyle a_4-a_1=t-s=a_4-a_7\), ezért \(\displaystyle a_1=a_7\), vagyis a sorozat \(\displaystyle n\) periódusa osztja a 6-ot. Azonban \(\displaystyle n\geq 4\) alapján ez azt jelenti, hogy csak \(\displaystyle n=6\) lehet.

Most megvizsgáljuk, hogy \(\displaystyle n=6\) esetén van-e megfelelő ráírása a számoknak. Az eddigiek alapján tudjuk, hogy az

\(\displaystyle a_4-a_1=a_2-a_5=a_6-a_3=t-s\)

feltételnek teljesülnie kell, vagyis az \(\displaystyle 1,2,3,4,5,6\) számokat három olyan párba kell osztani, ahol a páron belüli különbségek egyformák. Ez például megvalósítható az \(\displaystyle \{1,2\}\), \(\displaystyle \{3,4\}\), \(\displaystyle \{5,6\}\) párokkal. Legyen például

\(\displaystyle a_1=1,\quad a_4=2,\quad a_2=4,\quad a_5=3,\quad a_3=5,\quad a_6=6,\)

ami tehát az \(\displaystyle 1,4,5,2,3,6\) sorrendnek felel meg. Itt a hármas összegek rendre \(\displaystyle 10,11,10,11,10,11\), tehát valóban megfelelő ráírást kaptunk.

Ezzel beláttuk, hogy csak \(\displaystyle n=6\) lehet (ami valóban lehetséges is).

Megjegyzés. A megoldásból világos, hogy valójában az

\(\displaystyle a_4-a_1=a_2-a_5=a_6-a_3\)

feltételt elégséges is garantálni, hiszen például az \(\displaystyle a_4-a_1=a_2-a_5\) feltétel mutatja, hogy

\(\displaystyle a_1+a_2+a_3=a_3+a_4+a_5,\)

az \(\displaystyle a_2-a_5=a_6-a_3\) pedig, hogy

\(\displaystyle a_1+a_2+a_3=a_5+a_6+a_1.\)

Vagyis ilyenkor \(\displaystyle a_1+a_2+a_3=a_3+a_4+a_5=a_5+a_6+a_1\), a másik három összeg értéke pedig megkapható úgy, hogy \(\displaystyle 1+2+3+4+5+6=21\)-ből kivonjuk az előbbi közös értéket.

Tehát az \(\displaystyle \{1,2\}\), \(\displaystyle \{3,4\}\), \(\displaystyle \{5,6\}\) párok leosztásánál valóban elegendő csak arra figyelni, hogy \(\displaystyle a_4-a_1=a_2-a_5=a_6-a_3\) legyen, illetve helyettük az \(\displaystyle \{1,4\}\), \(\displaystyle \{2,5\}\), \(\displaystyle \{3,6\}\) párokat is használhatjuk.

Statistics:

63 students sent a solution.
4 points:	59 students.
3 points:	2 students.
2 points:	1 student.
1 point:	1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2021