Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 5177. feladat (2021. május)

B. 5177. Az \(\displaystyle ABC\) derékszögű háromszögben az \(\displaystyle AB\) átfogóhoz tartozó magasság a \(\displaystyle CD\) szakasz. A \(\displaystyle CD\) átmérőjű \(\displaystyle k\) kör az \(\displaystyle AC\) és \(\displaystyle BC\) befogókat másodszor rendre az \(\displaystyle E\) és \(\displaystyle F\) pontokban metszi. A \(\displaystyle k\) körhöz az \(\displaystyle E\) pontban rajzolt érintő a \(\displaystyle BC\) befogó egyenesét a \(\displaystyle P\), az \(\displaystyle AB\) átfogót az \(\displaystyle M\) pontban metszi, a \(\displaystyle k\) körhöz az \(\displaystyle F\) pontban szerkesztett érintő az \(\displaystyle AC\) befogó egyenesét a \(\displaystyle Q\), az \(\displaystyle AB\) átfogót az \(\displaystyle N\) pontban metszi. Bizonyítsuk be, hogy

\(\displaystyle 4\cdot MN^2=PE^2+QF^2+2\cdot EF^2. \)

(5 pont)

A beküldési határidő 2021. június 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Legyenek az \(\displaystyle ABC\) háromszög oldalai és szögei a szokásosan jelölve, az ábra szerint.

Az átfogóhoz tartozó magasság a háromszöget az eredetihez hasonló háromszögekre bontja, \(\displaystyle DCB\sphericalangle=CAB\sphericalangle=\alpha\) és \(\displaystyle ACD\sphericalangle=ABC\sphericalangle=\beta\).

A \(\displaystyle CD\) magasság Thalész-körének középpontja a \(\displaystyle K\) pont. A Thalész-kör a befogókat másodszor az \(\displaystyle E\) és \(\displaystyle F\) pontokban metszi, vagyis ezekből a pontokból a \(\displaystyle CD\) szakasz derékszögben látszik, másként fogalmazva a \(\displaystyle CEDF\) négyszög három szöge derékszög, a négyszög téglalap. Rögzíthetjük, hogy az \(\displaystyle EF\) szakasz szintén a kör átmérője, \(\displaystyle EF=CD=m\), továbbá az \(\displaystyle EF\) felezőpontja is a \(\displaystyle K\) pont. A téglalap-tulajdonságok miatt \(\displaystyle EKC\) és \(\displaystyle FKC\) egyenlő szárú háromszögek, így az eddigieket is figyelembe véve \(\displaystyle FEC\sphericalangle=\beta\) és \(\displaystyle EFC\sphericalangle=\alpha\). A Thalész-körhöz húzott érintők merőlegesek az érintési ponthoz tartozó átmérőre, következésképpen \(\displaystyle EPF\sphericalangle=\beta\) és \(\displaystyle FQE\sphericalangle=\alpha\).

Az \(\displaystyle ADC\) és \(\displaystyle QFE\) derékszögű háromszögek hegyesszögei \(\displaystyle \alpha\) és \(\displaystyle \beta\), továbbá az \(\displaystyle \alpha\) szöggel szemközti befogójuk is egyfoma hosszúságú: \(\displaystyle CD=EF=m\), tehát egybevágó háromszögek. Ugyanezzel a gondolatmenettel a \(\displaystyle BDC\) és \(\displaystyle PEF\) derékszögű háromszögek is egybevágók. Az egybevágóság és a Pitagorasz-tétel segítségével:

\(\displaystyle PE^2+EF^2+QF^2+EF^2=PF^2+QE^2=BC^2+CA^2=a^2+b^2=c^2.\)

A megoldás befejezéséhez tehát elegendő igazolni, hogy az \(\displaystyle MN\) szakasz az \(\displaystyle AB\) átfogó fele.

Az \(\displaystyle FEP\) derékszöget az \(\displaystyle EC\) magasság \(\displaystyle \beta\) és \(\displaystyle \alpha\) szögekre bontja. \(\displaystyle AEM\) és \(\displaystyle PEC\) csúcsszögek, \(\displaystyle PEC\sphericalangle=AEM\sphericalangle=EAM\sphericalangle=\alpha\), az \(\displaystyle AME\) háromszög egyenlő szárú. Másrészt az \(\displaystyle M\) pontból a \(\displaystyle CD\) Thalész-köréhez húzott érintőszakaszok is egyenlők, vagyis \(\displaystyle AM=EM=MD\), az \(\displaystyle MD\) szakasz az \(\displaystyle AD\) fele. Ugyanezzzel a módszerrel \(\displaystyle CFQ\) és \(\displaystyle NFB\) csúcsszögek, \(\displaystyle BNF\) egyenlő szárú háromszög, az \(\displaystyle N\) pontból húzott \(\displaystyle ND\) és \(\displaystyle NF\) érintőszakaszok is egyenlők, tehát \(\displaystyle ND\) a \(\displaystyle BD\) szakasz fele.

\(\displaystyle MN=MD+ND=\frac{AD}{2}+\frac{BD}{2}=\frac{AD+DB}{2}=\frac{c}{2}.\)

\(\displaystyle 4MN^2=c^2=a^2+b^2=PF^2+QE^2=PE^2+EF^2+QF^2+EF^2.\)


Statisztika:

A B. 5177. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2021. májusi matematika feladatai