A B. 5182. feladat (2021. szeptember)

B. 5182. A \(\displaystyle 612^2=374\,544\) szám \(\displaystyle 10\)-es számrendszerben két darab \(\displaystyle 4\)-es számjegyre végződik. Legfeljebb hány \(\displaystyle 4\)-esre végződhet egy négyzetszám?

Blahota István javaslata alapján

(3 pont)

A beküldési határidő 2021. október 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Megmutatjuk, hogy három 4-esre végződhet négyzetszám, de négyre már nem.

Némi próbálgatás után észrevehetjük, hogy \(\displaystyle 38^2=1444\), tehát három 4-esre valóban végződhet négyzetszám.

Most belátjuk, hogy négy 4-esre nem végződhet négyzetszám. Mivel egy négyzetszám nem lehet negatív, ezért egy négyzetszám pontosan akkor végződhetne négy 4-esre, ha a 10000-es maradéka 4444 lenne. Ehhez speciálisan az is kell, hogy 16-os maradéka annyi legyen, mint a 4444 szám 16-os maradéka, hiszen \(\displaystyle 16\mid 10000\). A 4444 szám 16-os maradéka \(\displaystyle 4444=16\cdot 277+12\) alapján 12. Ha egy \(\displaystyle k\) szám négyzete 12 maradékot adna 16-tal osztva, akkor \(\displaystyle k\)-nak párosnak kell lennie, és \(\displaystyle k=2K\) jelölés mellett \(\displaystyle k^2-12=4K^2-12=4(K^2-3)\) szám 16-tal osztható kellene legyen. Ehhez az kellene, hogy \(\displaystyle 4\mid K^2-3\) legyen, azonban egy szám négyzete soha nem ad 3-as maradékot 4-gyel osztva (a páros számok négyzetének 4-es maradéka \(\displaystyle (2\ell)^2=4\ell^2\) alapján 0, a páratlan számok négyzetéé pedig \(\displaystyle (2\ell + 1)^2=4(\ell^2 + \ell)+1\) alapján 1). Tehát valóban nem lehet 12 egy négyzetszám 16-os maradéka, és így négy 4-esre végződő négyzetszám sincsen.

Megjegyzés. Három 4-esre végződő négyetszámokat a következő, szisztematikus módon kereshetünk. Olyan \(\displaystyle k\) értékeket keresünk, melyekre a \(\displaystyle k^2\) szám 1000-es maradéka 444. Mivel \(\displaystyle 1000=2^3\cdot 5^3\), ezért ez pontosan akkor teljesül, ha \(\displaystyle 8\mid k^2-444\) és \(\displaystyle 125\mid k^2-444\), vagyis, ha a \(\displaystyle k^2\) szám 8-as maradéka 4 (hiszen \(\displaystyle 444=8\cdot 55 +4)\) és 125-ös maradéka 69 (hiszen \(\displaystyle 444=125\cdot 3+69\)).

Pontosan akkor lesz a \(\displaystyle k^2\) szám 8-as maradéka 4, ha a \(\displaystyle k\) szám páros, de 4-gyel nem osztható.

Most nézzük a 125-ös maradékot. Ha ez 69, akkor a 25-ös maradék 19, az 5-ös maradék pedig 4, vagyis \(\displaystyle k=5a\pm 2\) alakú. Vizsgáljuk először a \(\displaystyle k=5a+2\) esetet. Ekkor \(\displaystyle k^2=(5a+2)^2=25a^2+20a+4\), ami 25-tel osztva pontosan akkor ad 19 maradékot, ha a \(\displaystyle 25a^2+20a+4-19=5(5a^2+4a-3)\) szám 25-tel osztható. Ez pedig akkor teljesül, ha \(\displaystyle 5\mid 4a-3\), azaz, ha \(\displaystyle a=5b+2\) alakú. Ekkor \(\displaystyle k=5a+2=5(5b+2)+2=25b+12\), így \(\displaystyle k^2=625b^2+600b+144\), aminek 125-ös maradéka akkor lesz 69, ha \(\displaystyle 125\mid 600b+144-69=600b+75\), vagyis ha \(\displaystyle 5\mid 24b+3\). Ez éppen akkor teljesül, ha \(\displaystyle b=5c+3\) alakú, amiből \(\displaystyle k=25b+12=25(5c+3)+12=125c+87\).

Ehhez hasonlóan a \(\displaystyle k=5a-2\) esetből az adódik, hogy a \(\displaystyle k\) szám 125-ös maradékának 38-nak kell lennie, hogy 69 legyen a \(\displaystyle k^2\) szám 125-ös maradéka.

Tehát \(\displaystyle k=125c+87\) vagy \(\displaystyle k=125c+38\) alakú.

Ezt egybevetve azzal, hogy \(\displaystyle k\) páros, de 4-gyel nem osztható kapjuk, hogy a megfelelő 1000-es maradékok: 38, 462, 538, 962. Tehát a \(\displaystyle k\) pozitív szám négyzete pontosan akkor végződik 444-re, ha \(\displaystyle k\) utolsó három jegye 038, 462, 538 vagy 962.

Statisztika:

166 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	121 versenyző.
2 pontot kapott:	5 versenyző.
1 pontot kapott:	12 versenyző.
0 pontot kapott:	21 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	2 dolgozat.

A KöMaL 2021. szeptemberi matematika feladatai